X 上の前層の射 \varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G} は、開集合 U ごとの写像 \varphi_U : \mathcal{F}(U) \to \mathcal{G}(U) の族で、V \subset U のとき \varphi_U(s)|_{V} = \varphi_V(s|_{V}) をみたすものである [1]。制限と交換するので、\varphi は芽を芽へ送り、各点の茎の写像 \varphi_x : \mathcal{F}_x \to \mathcal{G}_x を与える。層の射とは、前層としての射のことである。
連続写像 f : X \to Y は、X 上の層から Y 上の層を作る。押し出し f_{*} \mathcal{F} は、(f_{*} \mathcal{F})(V) = \mathcal{F}(f^{-1}(V)) で定まる Y 上の層である。点 p を X に入れる写像 i で \mathbb{R} を押し出すと、p での摩天楼層になる。p \in U なら (i_{*} \mathbb{R})(U) = \mathbb{R}、p \notin U なら 0 である。p での値をとることは射 C \to i_{*} \mathbb{R} で、p \in U のとき f \in C(U) を f(p) に送る。
層の射の核 U \mapsto \ker \varphi_U は、また層になる。被覆への制限がどれも 0 に送られる切断は、\mathcal{G} の局所性によって 0 に送られる。核の局所的な切断が重なりで一致すれば、\mathcal{F} の中で 1 つの切断に貼り合わさり、同じ理由でそれも 0 に送られる。C \to i_{*} \mathbb{R} の核は、p を含む開集合の上では p で 0 になる関数からなり、ほかの開集合の上では C(U) 全体である。図では、区間 U が p を含むあいだだけ値が現れる。
像はそうはいかない。X = \mathbb{C} \setminus \{0\} とし、\mathcal{O}^{\times} を零点のない正則関数の層とする。これは掛け算で群の層になる。2 乗する写像 g \mapsto g^2 は射 \mathcal{O}^{\times} \to \mathcal{O}^{\times} で、その像の前層は、U に、\mathcal{O}^{\times}(U) の関数の 2 乗になっている関数の集合を割り当てる [1]。
関数 z は、X の中のどの円板の上でも 2 乗である。そのような円板は 0 から出るある半直線と交わらず、その半直線で切った平面の上で z は正則な平方根を持つからである。しかし、これらの局所的な平方根を、すべての重なりで一致するように選ぶことはできない。平方根をたどって 0 のまわりを 1 周すると、符号が変わるからである。よって z は X の上では 2 乗でなく、像の前層は貼り合わせの条件をみたさない。
図は、0 のまわりの円環の上に、\sqrt{z} の実部を高さとして描いたものである。2 つの平方根が 2 枚の面をなし、2 枚は負の実軸の上で交わる。面の上を 0 のまわりに 1 周した点はもう 1 枚の面の -\sqrt{z} に着き、もう 1 周してはじめてもとの高さに戻る。
指数関数でも同じことが起きる。射 \mathcal{O} \to \mathcal{O}^{\times}、g \mapsto e^{g} は、X の中のどの円板の上でも z に届く。そこでは z が対数を持つからである。しかし X の上では届かない。0 のまわりを 1 周すると、z のどの対数にも 2\pi i が加わるからである [2]。
どの前層 \mathcal{F} にも層化 \mathcal{F}^{+} がある。U 上の \mathcal{F}^{+} の切断とは、各 x \in U に芽 s_x \in \mathcal{F}_x を 1 つずつ選んだもので、U のどの点にも近傍 W と切断 t \in \mathcal{F}(W) があって、すべての y \in W で t_y = s_y となるものである [1]。局所的に切断から来る芽の族は、層の 2 つの条件をみたす。
切断をその芽の族に送る射 \mathcal{F} \to \mathcal{F}^{+} がある。\mathcal{F} から層へのどの射も、この射をただ 1 通りに通り、茎は変わらない。値が \mathbb{R} の定数前層を層化すると局所定数関数の層になり、連結成分が 3 つの開集合の上の切断は、\mathbb{R} ではなく \mathbb{R}^3 になる。
図では、前層の切断は 3 つの平らな面を一緒に動かし、層化した切断は別々に動かす。細い帯で 2 つの成分をつなぐと、開集合の成分は 2 つになり、つないだ成分の上の面は 1 つの高さにそろって、切断は \mathbb{R}^2 になる。
層の射の像は、像の前層を層化したものとして定める。像が \mathcal{G} 全体になるとき射は全射であるといい、それは茎の写像 \varphi_x がどれも全射であることと同値である [1]。\mathcal{O}^{\times} の 2 乗はこの意味で全射である。0 にならない正則関数の芽は、どれも平方根を持つからである。一方、X 上の切断の写像は z に届かない。その核は、値が 1 と -1 の局所定数関数の層である。