正多面体の面、辺、点の数とオイラーの多面体定理（中1数学）

正多面体の面、辺、点の数をまとめると下の表になります。

正多面体の性質は中学一年生で習います。面の数は正◯面体の◯に相当し、例えば正十二面体であれば 12、正二十面体であれば 20 となります。

辺の数と点の数はどのように覚えるべきでしょうか？　面の数がわかっているものとして、以下の表から出発するとします。

これから辺の数、点の数の順番に数を埋めていきます。

正多面体の辺の数

辺の数は以下のようにして求めます。正多面体の面の数から求めます。

（正多面体の辺の数）
=（面の辺の数）×（正多面体の面の数）÷ 2

正十二面体でやってみましょう。

（正十二面体の辺の数）
=（五角形の辺の数）×（正十二面体の面の数）÷ 2
= 5 × 12 ÷ 2
= 30

正四面体、正六面体、正八面体、正二十面体でもやってみましょう。

（正四面体の辺の数）
=（三角形の辺の数）×（正四面体の面の数）÷ 2
= 3 × 4 ÷ 2
= 6

（正六面体の辺の数）
=（四角形の辺の数）×（正六面体の面の数）÷ 2
= 4 × 6 ÷ 2
= 12

（正八面体の辺の数）
=（三角形の辺の数）×（正八面体の面の数）÷ 2
= 3 × 8 ÷ 2
= 12

（正二十面体の辺の数）
=（三角形の辺の数）×（正二十面体の面の数）÷ 2
= 3 × 20 ÷ 2
= 30

以上から

となります。

正多面体の点の数をオイラーの多面体定理から求めます。

オイラーの多面体定理

（点の数）=（辺の数）-（面の数）+ 2

これを使うとそれぞれの点の数はこうなります。

（正四面体の点の数）
= 6 - 4 + 2
= 4

（正六面体の点の数）
= 12 - 6 + 2
= 8

（正八面体の点の数）
= 12 - 8 + 2
= 6

（正十二面体の点の数）
= 30 - 12 + 2
= 20

（正二十面体の点の数）
= 30 - 20 + 2
= 12

まとめると

となります。