LaTeX - 繁分数式の書き方と整理

繁分数式（complex fraction）とは、分子や分母にさらに分数を含む数式のことです。連分数のように縦に深くなる構造とは異なり、分数の中に分数が横方向にも入り組んだ形を指します。LaTeX で繁分数式を書く際には、見た目の崩れを防ぐためのいくつかの工夫が必要です。

繁分数式の典型例

次のような式が繁分数式の代表的な形です。

\frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}{\frac{1}{a} - \frac{1}{b}}

$$\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}{\frac{1}{a}-\frac{1}{b}}$$

分子・分母の両方に分数が含まれており、内側の分数が自動的に縮小されるため、全体として窮屈な印象を受けます。

\dfrac で視認性を改善する

内側の分数に \dfrac を使うと、縮小を防いでディスプレイサイズで描画できます。

\frac{\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}}{\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b}}

$$\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}{\frac{1}{a}-\frac{1}{b}}$$

内側の分数が大きくなり読みやすくなりましたが、数式全体の縦幅もかなり大きくなっています。記事やスライドの中で使うと、前後のテキストとのバランスが崩れることがあるため注意が必要です。

繁分数式を通常の分数に整理する

数学的には、繁分数式は通分によって単純な分数に変形できる場合がほとんどです。LaTeX で書くときも、表示の見やすさを考慮して整理後の形を採用する選択肢があります。

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}$、$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{b-a}{ab}$ なので、先ほどの繁分数式は次のように簡約されます。

\frac{a + b}{b - a}

$$\frac{a+b}{b-a}$$

記事の文脈によっては、繁分数式の形を残して構造を見せたい場合もあれば、整理後の形で結果だけ示した方がよい場合もあります。

繁分数式と括弧の組み合わせ

繁分数式を括弧で囲む場合、\left / \right を使えば括弧が自動的に数式の高さに合わせて拡大されます。

\left( \frac{\dfrac{x}{y} + 1}{\dfrac{x}{y} - 1} \right)^2

$${\left(\frac{\frac{x}{y}+1}{\frac{x}{y}-1}\right)}^2$$

ただし、\dfrac と \left / \right を同時に使うと数式が非常に大きくなるため、整理できる式は先に簡約しておく方がすっきりします。

横棒の長さで階層を区別する

繁分数式では、外側の分数線と内側の分数線の長さが自然に異なります。外側の \frac の横棒は分子・分母の幅全体に渡るため長くなり、内側の横棒は短いままです。

\frac{\frac{a}{b} + c}{d + \frac{e}{f}}

$$\frac{\frac{a}{b}+c}{d+\frac{e}{f}}$$

この横棒の長さの違いが、どの分数線がどの階層に属するかを示す手がかりになります。しかし、分子と分母が同程度の幅を持つ場合はこの区別が曖昧になることもあるため、必要に応じて \dfrac や括弧を補って構造を明示するのが望ましいです。

実例：調和平均

2 つの値 $a$, $b$ の調和平均は繁分数式で定義されます。

H = \frac{2}{\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}}

$$H=\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$$

分母に分数の和が入った典型的な繁分数式です。これを通分すると $H=\frac{2ab}{a+b}$ となり、こちらの形で書かれることも多いです。どちらの表記を選ぶかは、読者に伝えたい内容が「調和平均の定義構造」なのか「計算結果」なのかによって判断するとよいでしょう。

繁分数式は見た目が複雑になりがちですが、\dfrac による視認性の改善と数学的な整理を組み合わせることで、読みやすい数式表現が実現できます。