LaTeX - \cfrac で連分数を組む

連分数（continued fraction）は、分母の中にさらに分数が入れ子になった構造を持つ数式です。LaTeX では \cfrac コマンドを使うことで、この連分数を見やすく記述できます。

\cfrac の基本構文

\cfrac は \frac と同じく \cfrac{分子}{分母} の形で使います。違いは、入れ子になっても分子・分母が常にディスプレイスタイルの大きさで表示される点にあります。

\cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{1}{4}}}

上のコードは次のように表示されます。

$$\frac{1}{2+\frac{1}{3+\frac{1}{4}}}$$

各段の分数がしっかりとした大きさを保っており、構造が一目で把握できます。

\frac との比較

同じ連分数を \frac の入れ子で書くとどうなるでしょうか。

\frac{1}{2 + \frac{1}{3 + \frac{1}{4}}}

$$\frac{1}{2+\frac{1}{3+\frac{1}{4}}}$$

このように \frac では入れ子が深くなるにつれて文字が小さくなりますが、\cfrac なら各レベルのサイズが保たれるため、連分数には \cfrac が適しています。

実用的な連分数の例

黄金比 $\phi$ は連分数で次のように表現されます。

\varphi = 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cdots}}}

$$\phi =1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\cdots }}}$$

すべての項が 1 であるという美しい構造が、\cfrac によってはっきりと表現されています。

もうひとつ、円周率 $\pi$ の連分数展開も見てみます。

\pi = 3 + \cfrac{1}{7 + \cfrac{1}{15 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{292 + \cdots}}}}

$$\pi =3+\frac{1}{7+\frac{1}{15+\frac{1}{1+\frac{1}{292+\cdots }}}}$$

連分数の項が深くなっても、\cfrac のおかげで各段の数値がつぶれることなく読めます。

左寄せ・右寄せ

KaTeX では \cfrac に加えて、分子を左寄せにする \cfrac[l] や右寄せにする \cfrac[r] もサポートされています。

\cfrac[l]{1}{2 + \cfrac[l]{1}{3}}

$$\frac{[}{l}]12+\frac{[}{l}]13$$

通常の \cfrac は分子を中央に配置しますが、連分数の慣例に合わせて左寄せにしたい場合に \cfrac[l] が役立ちます。数学書によって表記の流儀が異なるため、文脈に合わせて使い分けるのがよいでしょう。

\cfrac を使う場面の判断

連分数は整数論や近似計算など幅広い分野に登場する表現です。\cfrac を使いこなせば、こうした数式を正確かつ美しく組版できるようになります。