楕円のままでは式が込み入ります。円に限って組み立てます。答えの形は、あとで楕円に戻しても変わりません。
円を回りつづけるには、中心へ向かう加速度が要ります。まっすぐ進もうとするものを曲げ続けなければならないからです。その大きさは です。
速さは、1 周の長さを周期で割れば出ます。 です。
使う道具はこの 2 つだけです。あとはケプラーの第 3 法則を差し込みます。
を消します。 に を入れると、 になります。
ここで第 3 法則です。円なら半長軸は半径そのものなので、 と書けます。 はどの惑星でも同じ値です。
代入します。。 が分母で 2 乗になりました。
つまり惑星が受けている加速度は、距離の 乗に反比例します。ケプラーの 3 番目の法則を認めるだけで、この形が出てきます。
太陽が惑星を引くなら、惑星も太陽を引きます。作用と反作用は、大きさが等しく向きが逆です。
ここから力の形が決まります。もし力が惑星の質量にしか比例しないなら、太陽と惑星を入れ替えたときに大きさが変わってしまいます。入れ替えても変わらないためには、2 つの質量の積でなければなりません。
加速度が距離の 乗に反比例することと合わせると、 という形になります。
は万有引力定数です。 年にキャベンディッシュが、ねじり天秤で鉛の球どうしの引き合いを測って求めました。 で、いまも物理定数の中でいちばん精度が低いままです。
式ができたら、確かめなければなりません。ニュートンが使ったのは月です。
月は地球の中心から km のところにいます。地球の半径は km ですから、地表の 倍の距離です。
逆二乗なら、そこでの加速度は 分の になるはずです。地表の を で割ると 。
月が円を描くために要る加速度を、周期と半径から計算します。答えは です。落ちるリンゴと、回る月。この 2 つが同じ 1 つの式で説明できることが、ここで確かめられました。
ここまでは、3 つの法則から力の形を導きました。逆にもたどれます。
逆二乗の力から出発すると、道は円錐曲線にしかなりません。第 1 法則です。力がいつも中心を向いているので面積速度は変わりません。第 2 法則です。周期を計算すると、半長軸の 乗に比例する形が出ます。第 3 法則です。
3 つはばらばらの規則ではありませんでした。1 つの式の、別々の顔だったのです。
指数がちょうど であることも効いています。わずかでもずれると軌道は閉じなくなり、近日点がゆっくり回りはじめます。太陽系でそのずれが実際に見つかることは、ずっと先の記事で扱います。