光は波だと分かっていたのに、粒でもありました。光子 1 個の運動量は p = \dfrac{h}{\lambda} で、波長という波の量と、運動量という粒の量が、h を含む 1 つの式で結ばれています。
ド・ブロイは、この関係を逆向きに読みました。\lambda = \dfrac{h}{p} と書き直し、粒だと思っていたものにも波長を与えたのです。
言い換えれば、波と粒の両方の性質を持つのは光だけではない、という置き方です。電子にも、原子にも、野球のボールにも、運動量があれば波長がある。この波を物質波、またはド・ブロイ波といいます。
質量 m の粒が速さ v で動いているとき、運動量は p = mv です。物質波の波長は \lambda = \dfrac{h}{mv} になります。
速く動くほど波長は短くなります。反比例なので、速さを 2 倍にすると波長は半分です。止まっているものは波長が無限に長い、つまりどこにも局在しないことになります。
h が 6.6 \times 10^{-34} という小さな数なので、日常の速さと質量では波長がとてつもなく小さくなります。波として見えるかどうかは、この小ささをどう補うかで決まります。
電子を電圧 V で加速すると、失われた電位のエネルギーがそのまま運動エネルギーになります。eV = \dfrac{1}{2}mv^2 です。
これを p = mv に直すと p = \sqrt{2meV} となり、波長は \lambda = \dfrac{h}{\sqrt{2meV}} になります。電圧の平方根に反比例するので、電圧を 4 倍にすると波長は半分です。
100 V で加速した電子の波長は、およそ 1.2 \times 10^{-10} m です。原子の並ぶ間隔とちょうど同じくらいで、この一致がこのあとの話につながります。
波であることが見えるのは、波長が、通り道にある構造の大きさと同じくらいのときだけです。音が壁の陰へ回りこむのは、波長が壁と同じくらいだからです。
150 g のボールを秒速 40 m で投げたときの波長は、10^{-34} m ほどです。原子の大きさより 24 桁も小さく、これと同じ大きさの隙間はどこにもありません。
電子の 10^{-10} m は、結晶の中の原子の間隔と同じ大きさです。だから結晶が回折格子の代わりになり、波であることが目に見える形で現れます。
結晶に電子線を当てると、特定の角度だけ強く跳ね返ります。原子が規則正しく並んでいるので、隣り合う面で跳ね返った波どうしが強め合う角度が決まるためです。
面の間隔を d、跳ね返る角度を \theta とすると、2 つの経路の差は 2d\sin\theta です。これが波長の整数倍のとき、つまり 2d\sin\theta = n\lambda のときに強め合います。
デビッソンとガーマーはこれを実際に測り、出てきた \lambda が \dfrac{h}{\sqrt{2meV}} と合うことを確かめました。電子が波でもあることが、ここで測定になりました。