幅 の中に電子を閉じこめます。外へは出られないほど壁が高い、という置き方をします。これを井戸型ポテンシャルといいます。
中の電子は波です。両端で外へ出られないので、そこでは波が にならなければなりません。両端が節に固定された波、つまり弦をはじいたときと同じ定常波になります。
定常波になれるのは決まった波長だけです。弦の上に出る音がとびとびなのと同じ理由で、閉じこめられた電子の波長もとびとびになります。
両端が節になるには、井戸の幅が半波長の整数倍でなければなりません。 です。
波長について解くと です。 がいちばん長く、 を増やすと短くなります。
運動量は です。閉じこめただけで、運動量がとびとびの値しか取れなくなりました。
壁の中では位置のエネルギーが なので、全部が運動エネルギーです。 へ入れると になります。
の 2 乗で増えるので、上へ行くほど準位の間隔は広がります。水素原子では上へ行くほど詰まっていましたが、こちらは逆です。閉じこめ方が違うと並び方も変わります。
とびとびになった理由は、原子のときと同じです。「1 周して戻ったときに重なる」が「両端で になる」に変わっただけで、波に条件を課したからとびとびになった、という筋は同じです。
は許されません。それでは波がどこでも になり、電子がいないことになってしまうからです。いちばん低いのは で、 です。
これは ではありません。閉じこめられた電子は、いちばん低い状態でも動きを止められません。この を零点エネルギーといいます。
不確定性原理からも同じことが言えます。幅 に閉じこめれば が ほどになり、 が ほどになります。エネルギーは ほどで、 と同じ桁です。
は に反比例します。井戸を狭めると、どの準位も一斉に上がります。
狭いところへ押しこむほど、電子は激しく動きます。閉じこめに逆らう向きの力が出る、ということでもあります。原子や分子がある大きさより小さくつぶれないのは、このためです。
原子の大きさ m で計算すると は数 eV になります。原子が出し入れする光のエネルギーと同じ桁で、この単純な模型でも桁は合っています。