断熱変化とポアソンの関係式〜比熱比が決めるもの

熱の出入りを止めて気体を押し縮めると、体積が減るだけでなく温度も上がります。熱を一切与えていないのに温度が動く。

この変化では圧力、体積、温度の 3 つが決まった形で結ばれる。その形を書いたものがポアソンの関係式です。

$$p{V}^{\gamma }=\text{const}$$

以下では 3 つの書き方と使い分けを確かめ、仕事の求め方、成り立つ条件、身のまわりでの現れ方まで進みます。

熱を通さないと自由度が 1 つ減る

ふつうの気体では、状態方程式 $pV=nRT$ が 3 つの量を 1 本で結びます。2 つ決めれば残りが決まる形。

熱の出入りを止めると、もう 1 本の関係が加わります。すると 1 つ決めるだけで残りの 2 つが決まる。

$$Q=0\Rightarrow \Delta U=-W$$

気体が膨張して仕事をすれば内部エネルギーが減り、温度が下がります。押し縮められれば逆で、温度が上がる。この結びつきが式の形に出てきます。

ポアソンの関係式

断熱変化では次の 3 つが成り立つ。どれも同じ内容を別の変数の組で書いたものです。

$$p{V}^{\gamma }=\text{const}$$

$$T{V}^{\gamma -1}=\text{const}$$

$$p^{1-\gamma }{T}^{\gamma }=\text{const}$$

$\gamma$ は比熱比で、定圧モル比熱と定積モル比熱の比になる。

$$\gamma =\frac{C_p}{C_V}$$

2 つの状態を比べる形にすると、そのまま計算に使える。

$$p_1{V}_1^{\gamma }=p_2{V}_2^{\gamma },T_1{V}_1^{\gamma -1}=T_2{V}_2^{\gamma -1}$$

3 つは同じ変化を別の面から見たもの

3 本の式は独立ではありません。どれか 1 つと状態方程式があれば、残りの 2 つは出てくる。

左は $p$ と $V$、中央は $T$ と $V$、右は $T$ と $p$ の面です。同じ 1 本の変化が、見る面によって違う形に映る。

膨張すると圧力も温度も下がるので、左と中央では右下がりになります。右の面では圧力が下がれば温度も下がるので、右上がり。

比熱比の値

$\gamma$ は分子の自由度で決まります。自由度を $f$ とすると $\gamma =(f+2)/f$ になる。

空気は窒素と酸素が大部分で、どちらも二原子分子です。だから $\gamma \approx 1.4$ として計算する。

自由度が増えるほど $\gamma$ は $1$ に近づきます。ただし $1$ を下回ることはない。定圧のほうが必ず多くの熱を要するからです。

例：断熱圧縮で圧力を求める

$1.0\times 10^5\mathrm{Pa}$ の空気を、体積が半分になるまで断熱圧縮します。$\gamma =1.4$ とする。

$$p_2=p_1{\left(\frac{V_1}{V_2}\right)}^{\gamma }=1.0\times 10^5\times 2^{1.4}$$

$$p_2=2.6\times 10^5\mathrm{Pa}$$

等温なら $2.0\times 10^5\mathrm{Pa}$ で済むところです。断熱では温度も上がるぶん、圧力が余計に上がる。

例：断熱圧縮で温度を求める

同じ圧縮で、はじめの温度が $300\mathrm{K}$ だったとします。今度は $T$ と $V$ の式を使う。

$$T_2=T_1{\left(\frac{V_1}{V_2}\right)}^{\gamma -1}=300\times 2^{0.4}$$

$$T_2=4.0\times 10^2\mathrm{K}$$

$100\mathrm{K}$ ほど上がりました。状態方程式で確かめると $T_2/T_1=p_2{V}_2/(p_1{V}_1)=2.6\times 0.5=1.3$ で、たしかに合っている。

どの式を使うか

3 つの式は、与えられた量で選び分けます。$V$ が分かれば $V$ の入った式、$p$ しか分からなければ $p$ と $T$ の式。

上の 3 行は動き続けますが、いちばん下の $p{V}^{1.4}$ だけが $1.00$ のまま止まっている。これが「一定」の意味です。

$V$ と $p$ が同時に動いても、$V$ のほうを $1.4$ 乗してから掛ければ帳尻が合う。指数の $1.4$ がその釣り合いを決めています。

$\gamma$ が大きいほど急に落ちる

同じ点から膨張させても、$\gamma$ の値で曲線の落ち方が変わる。

いちばん上の青が $\gamma =1$ の場合で、等温変化にあたります。断熱の 3 本はどれもその下を通る。

単原子分子がいちばん急に落ちる。自由度が少ないぶん、膨張で失ったエネルギーが温度に直接効くからです。

導出の筋道

断熱では $Q=0$ なので、第一法則は 2 項だけになる。

$$n{C}_V\Delta T=-p\Delta V$$

ここに状態方程式を入れ、マイヤーの関係 $C_p-C_V=R$ を使って整理すると、指数に $\gamma$ が現れる。

整理の途中で $\Delta V/V$ の形の和をとる操作が要るので、きちんとした導出には微積分が必要です。高校では結果の式を使う。

$\gamma$ が出てくる筋道だけ押さえておけば足りる。$R$ を $C_V$ で割った $C_p/C_V$ が顔を出す、という流れです。

断熱変化で気体がする仕事

$Q=0$ なので、仕事は内部エネルギーの減りぶんそのものになる。

$$W=-\Delta U=-n{C}_V\Delta T$$

温度が下がれば $\Delta T$ が負になり、$W$ は正です。膨張して外へ仕事をしたことになる。

状態方程式を使えば、両端の $p$ と $V$ で書き直せる。

$$W=\frac{p_1{V}_1-p_2{V}_2}{\gamma -1}$$

どちらの形でも同じ値になる。温度が分かっていれば上、圧力と体積が分かっていれば下を使います。

例：断熱膨張の仕事

単原子分子の理想気体 $1.0\mathrm{mol}$ が断熱膨張し、温度が $400\mathrm{K}$ から $300\mathrm{K}$ へ下がりました。

$$W=-1.0\times \frac{3}{2}\times 8.31\times (-100)=1.2\times 10^3\mathrm{J}$$

$1.2\times 10^3\mathrm{J}$ の仕事を外へしています。そのぶんだけ内部エネルギーが減り、温度が $100\mathrm{K}$ 下がった。

ゆっくり進むときだけ成り立つ

ポアソンの関係式には条件があります。熱を通さないだけでは足りず、変化がゆっくり進んで、途中のどの瞬間もつり合いが保たれている必要がある。

条件を外れる例が、真空へ向かう膨張です。仕切りで区切った容器の片側に気体を入れ、もう片側を真空にして、仕切りを一気に開ける。

分子の色も速さも変わりません。押し返してくるふたがないので、分子は運動エネルギーを手放さずに広がる。

例：真空へ広がっても温度は変わらない

熱を通さない容器で、気体が真空へ広がったとします。$Q=0$ で、押す相手がないので $W=0$。

$$\Delta U=0-0=0$$

内部エネルギーが変わらないので、理想気体なら温度も変わりません。

ポアソンの式に体積が 2 倍と入れると温度が下がる答えが出ます。実際には下がらない。式のほうが使える場面を外れています。

一気に開けた瞬間、容器のなかは場所ごとに圧力が違う状態になります。「そのときの圧力」が定まらないので、つり合いを前提にした式が成り立たない。

例：ディーゼルエンジンの圧縮

ディーゼルエンジンは空気を 15 分の 1 から 23 分の 1 まで圧縮し、点火プラグを使わずに燃料を着火させます。圧縮だけで温度を上げているからです。

16 分の 1 まで圧縮する場合を計算します。$\gamma =1.4$、はじめの温度を $300\mathrm{K}$ とする。

$$T_2=300\times 16^{0.4}=9.1\times 10^2\mathrm{K}$$

$900\mathrm{K}$ を超え、セルシウス温度なら $600{}^{\circ }\mathrm{C}$ 台です。軽油が自然に燃え出す温度をはるかに上まわる。

自転車の空気入れが温かくなるのも同じ理屈です。押し縮める速さが熱の逃げる速さより速いので、断熱変化に近くなる。

フェーン現象

山を越えた風が、風上より高温で乾いた風になる現象があります。断熱変化が 2 回はたらいている。

登りでは空気が膨張して冷えます。乾いた空気は 1 km あたり約 $9.8\mathrm{K}$、雲ができはじめてからは約 $5\mathrm{K}$ に鈍る。水蒸気が水になるときに熱を出すからです。

下りでは水分を落としたあとなので、最後まで乾いた空気の割合で温まります。登りより下りのほうが 1 km あたりの変化が大きい。

同じ高さに戻ってきたとき、出発点より温度が高くなる。これがフェーン現象です。

例：山を越えた空気の温度

$0\mathrm{m}$ で $20{}^{\circ }\mathrm{C}$ の空気が、$3000\mathrm{m}$ の山を越えて反対側の $0\mathrm{m}$ へ下ります。$1000\mathrm{m}$ で雲ができはじめるとする。

計算しやすいよう、乾いた割合を $10K/km$、雲ができてからを $5K/km$ に丸めます。

$0\mathrm{m}$ から $1000\mathrm{m}$ までは乾いた割合で $10\mathrm{K}$ 下がり、$10{}^{\circ }\mathrm{C}$ になる。

$1000\mathrm{m}$ から $3000\mathrm{m}$ までは雲ができているので $5\times 2=10\mathrm{K}$ 下がり、山頂で $0{}^{\circ }\mathrm{C}$。

下りは $3000\mathrm{m}$ ぶんを乾いた割合で温まるので $10\times 3=30\mathrm{K}$ 上がる。

$$0+30=30{}^{\circ }\mathrm{C}$$

出発点より $10\mathrm{K}$ 高くなりました。上りと下りで割合が違うことが、そのまま差になっている。

音の伝わりも断熱変化

空気を伝わる音は、圧力の高いところと低いところが交互に並んだ波です。圧縮と膨張がくり返されている。

この変化が速すぎて、熱が隣へ逃げる暇がありません。だから等温ではなく断熱として扱う。

音速には $\gamma$ が入ります。等温として計算すると実測より 1 割以上小さく出てしまい、断熱として計算すると合う。

$$v=\sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$$

$M$ は 1 mol あたりの質量です。空気なら $\gamma =1.4$、$M=0.029kg/mol$ で、$300\mathrm{K}$ のとき約 $347m/s$ になる。

高校では実験式を使いますが、$\gamma$ が顔を出す場面として知っておくと見通しがよくなります。

よくある誤り

最後に、間違えやすいところを並べます。

参考文献