連立方程式とは何か（中学数学）

連立方程式とは、2 つ以上の方程式を同時に成り立たせる変数の値を求める問題だ。中学数学では主に 2 元 1 次連立方程式、つまり未知数が 2 つで次数が 1 の方程式を 2 本組み合わせたものを扱う。

なぜ方程式が 2 つ必要なのか

1 つの方程式 $x + y = 5$ だけでは、 $x = 1, y = 4$ でも $x = 2, y = 3$ でも成り立ってしまい、答えが 1 つに定まらない。ここにもう 1 本の方程式 $x - y = 1$ を加えると、両方を同時に満たす組は $x = 3, y = 2$ だけになる。

方程式が 1 本だけ

$x + y = 5$ を満たす組は無数にある。 $(1, 4)$ 、 $(2, 3)$ 、 $(0, 5)$ など、どれも正しい

方程式が 2 本

$x + y = 5$ と $x - y = 1$ の両方を満たす組は $(3, 2)$ の 1 つだけに決まる

未知数の数だけ方程式が必要になる、というのが連立方程式の基本的な考え方である。

連立方程式は、複数の方程式を中括弧でまとめて書く。

${x + y = 5 x - y = 1$

この記法は「これらの方程式を同時に考える」という意味を表している。中括弧がなくても 2 本の式が並んでいれば連立方程式だが、セットであることを明示するためにこの書き方が用いられる。

連立方程式のすべての式を同時に成り立たせる変数の値の組を「解」と呼ぶ。先ほどの例では $x = 3, y = 2$ が解にあたる。

解が正しいかどうかは、求めた値を元の式に代入して確かめられる。

1 本目に代入

$x + y = 3 + 2 = 5$ （左辺 = 右辺 ✓）

2 本目に代入

$x - y = 3 - 2 = 1$ （左辺 = 右辺 ✓）

両方の式で左辺と右辺が一致すれば、その値の組が解であると確認できる。計算ミスを防ぐためにも、解を求めたあとの検算は欠かせない。

2 元 1 次連立方程式の解は、通常は 1 組だけ存在する。しかし、特殊なケースでは解が存在しなかったり、無数に存在したりすることもある。

2 本の式が異なる直線を表す

交点が 1 つだけ存在する

解は 1 組に決まる

2 本の式が平行な直線を表す場合は交点がなく、解なしとなる。同じ直線を表す場合は交点が無数にあり、解が無限に存在する。中学の問題では解が 1 組に定まるケースがほとんどだが、こうした例外があることも知っておくとよい。

連立方程式を解く方法は大きく分けて 2 つある。

加減法

2 つの式を足したり引いたりして、一方の変数を消去する方法。係数をそろえてから計算するのがポイントになる

代入法

一方の式を変形して $y = \dots$ の形にし、もう一方の式に代入する方法。片方の式がすでに $y = \dots$ の形に近いときに便利

どちらの方法でも同じ解が得られる。問題に応じて使いやすい方を選べばよい。次の記事では、まず加減法の基本から詳しく見ていく。