代入法の基本（中学数学）

代入法は、一方の式を変形してもう一方の式に代入することで未知数を消去する方法だ。加減法と並ぶ連立方程式の基本的な解法で、式の形によっては加減法よりも手早く解ける場合がある。

代入法の考え方

次の連立方程式を見てみよう。

${y = 2 x + 1 \dots ① 3 x + y = 11 \dots ②$

①はすでに $y = \dots$ の形になっている。この $y$ を②にそのまま代入できる。

②の $y$ に $2 x + 1$ を入れると次のようになる。

$3 x + (2 x + 1) = 11$

$5 x + 1 = 11$

$5 x = 10 \Rightarrow x = 2$

$x = 2$ を①に代入して $y = 2 \times 2 + 1 = 5$ が得られる。

一方の式を $y = \dots$ の形にする

もう一方の式の $y$ に代入する

$x$ だけの方程式になる

$x$ を求めて $y$ も求める

代入法の本質は「一方の式を使って未知数を別の未知数で表し、もう一方の式に差し込む」ことにある。

どんなときに代入法が便利か

代入法は、片方の式がすでに $y = \dots$ や $x = \dots$ の形になっているとき、あるいは簡単な変形でそうなるときに威力を発揮する。

代入法が向いている場合

片方の式が $y = 3 x - 2$ のように 1 つの変数について解かれた形になっている。変形の手間なくそのまま代入できる

加減法が向いている場合

$2 x + 3 y = 10$ と $4 x - 3 y = 8$ のように、どちらの式も $a x + b y = c$ の形で係数がそろいやすい

もちろんどちらの方法でも正しい答えは出るが、問題に応じて使い分けることで計算量を減らせる。

変形してから代入するケース

いつも都合よく $y = \dots$ の形になっているとは限らない。次の連立方程式を考えてみよう。

${x + y = 9 \dots ① 2 x + 3 y = 22 \dots ②$

①を $y$ について解くと $y = 9 - x$ となる。これを②に代入する。

$2 x + 3 (9 - x) = 22$

かっこを展開して整理すると次のようになる。

$2 x + 27 - 3 x = 22$

$- x = - 5 \Rightarrow x = 5$

$x = 5$ を①に代入して $y = 9 - 5 = 4$ だ。

変形の際に注意すべきなのは、代入先の式でかっこを正しく処理することだ。 $3 (9 - x)$ のように係数がかかっている場合、展開を忘れると計算ミスにつながる。

代入法の手順

ステップ 1　一方の式を変形する

$x = \dots$ または $y = \dots$ の形にする。係数が 1 の項を選ぶと変形が楽になる。

ステップ 2　もう一方の式に代入する

変形した式をもう一方の式に代入し、未知数を 1 つにする。かっこの処理に注意。

ステップ 3　方程式を解く

1 元 1 次方程式を解いて値を求める。

ステップ 4　もう一方の値を求める

得られた値をステップ 1 の式に代入し、もう 1 つの未知数を求める。

ステップ 5　検算する

両方の式に解を代入し、等式が成り立つことを確認する。

$x$ について解いて代入する

$y = \dots$ にこだわる必要はない。 $x = \dots$ の形にして代入しても同じだ。

${x = 3 y - 1 \dots ① 5 x + 2 y = 29 \dots ②$

①がすでに $x = \dots$ の形なので、②に代入する。

$5 (3 y - 1) + 2 y = 29$

$15 y - 5 + 2 y = 29$

$17 y = 34 \Rightarrow y = 2$

$y = 2$ を①に代入して $x = 3 \times 2 - 1 = 5$ となる。

検算すると、②に $x = 5, y = 2$ を代入して $25 + 4 = 29$ で正しいことがわかる。

よくあるミスと対策

代入法で起きやすいミスをまとめておこう。

代入先の式でかっこを付け忘れるのが最も多いミスだ。たとえば $2 x + 3 y = 22$ の $y$ に $9 - x$ を代入するとき、 $2 x + 3 \times 9 - x$ としてしまうと、分配法則が正しく適用されず答えが狂う。

$a (b + c) = ab + a c$ のように、かっこの中のすべての項に係数をかける法則。

必ず $3 (9 - x)$ のようにかっこを付けてから展開することを習慣にしよう。また、負の符号が絡むときは特に慎重になる必要がある。 $- 2 (x - 3)$ は $- 2 x + 6$ であって $- 2 x - 6$ ではない。

練習問題

連立方程式 ${y = 4 x - 3 2 x + y = 9$ を代入法で解くと $x$ の値はいくつか。

$x = 1$
$x = 2$
$x = 3$

__RESULT__

①の $y = 4 x - 3$ を②に代入すると $2 x + (4 x - 3) = 9$ で $6 x = 12$ より $x = 2$ です。 $y = 4 \times 2 - 3 = 5$ となります。

代入法は式の形を見て「そのまま代入できそうか」を判断するところから始まる。 $y = \dots$ や $x = \dots$ の形が見えたら代入法、そうでなければ加減法、と使い分けるのが効率的な解き方だ。