Dos ideales I y J de A son coprimos si I + J = A, es decir, si 1 = a + b para algún a \in I y algún b \in J [1]. En \mathbb{Z} la suma (m) + (n) está generada por el máximo común divisor de m y n, así que (m) y (n) son coprimos exactamente cuando ese divisor es 1. En k[x] los ideales (x - a) y (x - b) con a \neq b son coprimos, porque (x - a) - (x - b) = b - a es una unidad.
La figura halla el máximo común divisor cortando una y otra vez el mayor cuadrado posible de un rectángulo de m \times n. Cortar un cuadrado de lado n del lado m cambia (m, n) por (m - n, n), que genera el mismo ideal, y el lado del último cuadrado es el máximo común divisor. El rectángulo de 21 \times 13 termina con un cuadrado de lado 1, así que (21) + (13) = (1), mientras que el de 24 \times 18 termina con lado 6, así que (24) + (18) = (6).
En Ideales y anillos cociente vimos que IJ = I \cap J para ideales coprimos. Las potencias de ideales coprimos vuelven a ser coprimas: en el desarrollo de (a + b)^{k + l - 1} = 1, cada término tiene un factor a^k o un factor b^l, así que I^k + J^l = A. Por ejemplo, (4) = (2)^2 y (9) = (3)^2 son coprimos.
El producto A \times B de dos anillos es el conjunto de los pares (a, b) con la suma y el producto componente a componente, y su identidad es (1, 1). Si I + J = A, el homomorfismo A \to A/I \times A/J, x \mapsto (x + I, x + J), tiene núcleo I \cap J = IJ y es sobreyectivo, así que A/IJ \cong A/I \times A/J [1,2]. Es sobreyectivo porque 1 = a + b lleva b a (1, 0) y a a (0, 1), así que ub + va va a (u, v).
Para \mathbb{Z}/12 \cong \mathbb{Z}/3 \times \mathbb{Z}/4, la figura escribe cada k en la casilla dada por los restos de dividir k entre 3 y entre 4. Las casillas se recorren por una diagonal que da la vuelta en los bordes, y 0, 1, \ldots, 11 llenan las doce casillas una vez cada una. Las unidades corresponden a pares de unidades, así que la función de Euler cumple \varphi(12) = \varphi(3)\varphi(4).
Para 4 y 6, que no son coprimos, la diagonal vuelve a la casilla (0, 0) en k = 12, y la mitad de las veinticuatro casillas quedan vacías. La aplicación \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/4 \times \mathbb{Z}/6 tiene núcleo (4) \cap (6) = (12), así que \mathbb{Z}/12 se inyecta en el producto sin llenarlo. En particular, \mathbb{Z}/24 no es isomorfo a \mathbb{Z}/4 \times \mathbb{Z}/6, porque solo \mathbb{Z}/24 tiene un elemento de orden aditivo 24.
El teorema se extiende a varios ideales: si I_1, \ldots, I_n son coprimos dos a dos, entonces A/(I_1 \cap \cdots \cap I_n) \cong A/I_1 \times \cdots \times A/I_n [1]. El antiguo libro chino de aritmética Sunzi Suanjing pide un número que deja resto 2 al dividirlo entre 3, resto 3 al dividirlo entre 5 y resto 2 al dividirlo entre 7.
Mediante \mathbb{Z}/105 \cong \mathbb{Z}/3 \times \mathbb{Z}/5 \times \mathbb{Z}/7 buscamos el elemento que va a (2, 3, 2). Los números 70, 21 y 15 van a (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1), así que 2 \cdot 70 + 3 \cdot 21 + 2 \cdot 15 = 233 va a (2, 3, 2), y lo mismo su resto 23 al dividir entre 105.
La figura marca los números 3k + 2, 5k + 3 y 7k + 2 en tres filas y mueve una recta vertical de izquierda a derecha. Dos de las filas coinciden cada 15, 21 o 35 pasos, y las tres coinciden solo en 23 y en 128, así que las soluciones son los números 23 + 105k.
Para números reales distintos a, b, c, los ideales (x - a), (x - b) y (x - c) son coprimos dos a dos, y su intersección está generada por (x - a)(x - b)(x - c). El teorema da \mathbb{R}[x]/((x - a)(x - b)(x - c)) \cong \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}, donde la clase de f va a (f(a), f(b), f(c)), sus valores en los tres puntos.
La inversa es la interpolación de Lagrange. El polinomio L_a = (x - b)(x - c)/((a - b)(a - c)) vale 1 en a y 0 en b y en c, así que va a (1, 0, 0), y L_b y L_c se construyen del mismo modo. Toda clase tiene exactamente un representante de grado a lo sumo 2, que es uL_a + vL_b + wL_c con u = f(a), v = f(b) y w = f(c).
En la figura, las alturas u, v, w de los segmentos verticales en a, b, c cambian despacio, y la gráfica de uL_a + vL_b + wL_c pasa siempre por sus extremos. Las curvas tenues son L_a, L_b y L_c, cada una igual a 1 en su propio punto y a 0 en los otros dos.
Un elemento e con e^2 = e se llama idempotente. En A \times B los elementos (1, 0) y (0, 1) son idempotentes de suma 1 y producto 0. Recíprocamente, un idempotente e de A descompone A: los conjuntos Ae y A(1 - e) son anillos con identidades e y 1 - e, y x \mapsto (xe, x(1 - e)) es un isomorfismo A \cong Ae \times A(1 - e) [1].
En \mathbb{Z}/n, un idempotente corresponde a una manera de escribir n = rs con r y s coprimos: es el elemento que es 1 módulo r y 0 módulo s. Si n tiene k factores primos distintos hay 2^k idempotentes, y en \mathbb{Z}/30 son 0, 1, 6, 10, 15, 16, 21, 25. La figura dibuja los puntos (x, x^2) de \mathbb{Z}/n para n = 7, 12, 30, y los idempotentes son los puntos de la diagonal.
Al descomponer según los factores primos, \mathbb{Z}/n queda como el producto de los anillos \mathbb{Z}/p^a para las potencias de primos p^a de la factorización de n, como en \mathbb{Z}/360 \cong \mathbb{Z}/8 \times \mathbb{Z}/9 \times \mathbb{Z}/5. Cada \mathbb{Z}/p^a es un anillo local, cuyos únicos idempotentes son 0 y 1, así que esta descomposición no se puede refinar.
El teorema necesita I + J = A. Para t \neq 0 los ideales (x - t) y (x + t) de \mathbb{R}[x] son coprimos, porque (x + t) - (x - t) = 2t es una unidad, y \mathbb{R}[x]/(x^2 - t^2) \cong \mathbb{R} \times \mathbb{R}. El idempotente que va a (1, 0) es e = (x + t)/(2t), cuyo coeficiente de x es 1/(2t).
En la figura, la clase a + bx es el punto (a, b). Las clases que se anulan en t y las que se anulan en -t llenan dos rectas por 0, y los idempotentes e y 1 - e están sobre esas rectas. Cuando t tiende a 0, las dos rectas se acercan al eje vertical, y e y 1 - e suben y bajan hasta salir de la figura.
En t = 0 los dos ideales son (x), y (x) + (x) = (x) no es todo el anillo. En \mathbb{R}[x]/(x^2) se tiene x \neq 0 pero x^2 = 0, y como anillo local con ideal maximal (x) no tiene más idempotentes que 0 y 1, así que no es producto de dos anillos. Del mismo modo, \mathbb{Z}/4, donde 2^2 = 0, no es isomorfo a \mathbb{Z}/2 \times \mathbb{Z}/2, donde todo elemento u cumple u^2 = u.