Un anillo es reducido cuando su único elemento nilpotente es 0, y R_{\mathrm{red}} = R/\mathfrak{N}(R) es siempre reducido. Todo ideal primo contiene a todos los elementos nilpotentes, así que los primos de R y los de R_{\mathrm{red}} se corresponden uno a uno, cerrados incluidos, y \operatorname{Spec} R_{\mathrm{red}} \to \operatorname{Spec} R es un homeomorfismo [1]. Por la misma razón V(I) = V(\sqrt{I}), y los ideales radicales se corresponden uno a uno con los cerrados.
Lo que la reducción olvida nunca aparece en un punto: en \mathbb{R}[x, \varepsilon]/(\varepsilon^2) los elementos \alpha + \varepsilon\beta y \alpha, con \alpha y \beta polinomios en x, toman el mismo valor en todas partes. Así, la forma del espectro depende solo de R_{\mathrm{red}}. La primera pregunta sobre esa forma es la irreducibilidad: un espacio no vacío es irreducible si no es la unión de dos cerrados propios o, de forma equivalente, si dos abiertos no vacíos cualesquiera se cortan [2].
Como D(f) \cap D(g) = D(fg) y D(f) es vacío exactamente cuando f es nilpotente, \operatorname{Spec} R es irreducible si y solo si \mathfrak{N}(R) es primo [1], y del mismo modo V(I) es irreducible si y solo si \sqrt{I} es primo. Un dominio de integridad es, por tanto, exactamente un anillo reducido con espectro irreducible, pues entonces (0) = \mathfrak{N}(R) es primo.
Sean R = \mathbb{R}[x, y, z]/(xz, yz) y X = \operatorname{Spec} R, cuyos puntos reales son el plano z = 0 y el eje z. En R se tiene (x^2 + y^2)z = x \cdot xz + y \cdot yz = 0, pero ningún factor es nilpotente: z no se anula en el eje, ni x^2 + y^2 en el plano. Así, D(z) y D(x^2 + y^2) son abiertos no vacíos disjuntos, y X, que es la unión de los cerrados V(z) y V(x, y), no es irreducible.
Un subconjunto irreducible maximal es una componente irreducible. Las componentes son cerradas, por el lema de Zorn todo subconjunto irreducible está contenido en alguna, y entre todas cubren el espacio. En \operatorname{Spec} R los cerrados irreducibles son los V(\mathfrak{p}) con \mathfrak{p} primo, y un V(\mathfrak{p}) más grande corresponde a un \mathfrak{p} más pequeño, así que las componentes son los V(\mathfrak{p}) con \mathfrak{p} primo minimal [1]. En particular, todo primo contiene un primo minimal.
Para R = \mathbb{R}[x, y, z]/(xz, yz) los primos minimales son (z) y (x, y), y las componentes son el plano V(z) y la recta V(x, y). Se cortan en el origen y ni siquiera tienen la misma dimensión. Nada obliga a que las componentes de un mismo espectro se parezcan.
Un anillo es noetheriano si toda cadena creciente de ideales se estabiliza, como en \mathbb{Z} y, por el teorema de la base de Hilbert, en los anillos de polinomios en un número finito de variables sobre un cuerpo. En un anillo así también se estabilizan las cadenas decrecientes de cerrados de \operatorname{Spec} R, que son cadenas crecientes de ideales radicales. Un espacio con esta propiedad se llama noetheriano; es unión de un número finito de cerrados irreducibles, y por eso un anillo noetheriano tiene un número finito de primos minimales [1,2].
Sin la condición noetheriana puede haber infinitas componentes. En k[x_1, x_2, \ldots]/(x_i x_j \mid i \neq j) un ideal primo contiene todas las variables salvo a lo sumo una, así que los primos minimales son \mathfrak{p}_n = (x_j \mid j \neq n) para n = 1, 2, \ldots, y cada V(\mathfrak{p}_n) es una recta que pasa por el punto \mathfrak{m} = (x_1, x_2, \ldots). Los cerrados \cdots \subsetneq V(x_1, x_2) \subsetneq V(x_1) no dejan nunca de decrecer.
En un anillo reducido, los divisores de cero son los elementos que se anulan en toda una componente, es decir, los elementos de los ideales primos minimales. Si fg = 0 con g \neq 0, entonces g queda fuera de algún primo minimal \mathfrak{p}, porque la intersección de los primos minimales es \mathfrak{N}(R) = 0, y fg \in \mathfrak{p} obliga a que f \in \mathfrak{p}.
El recíproco es más sencillo cuando hay un número finito de primos minimales \mathfrak{p}_1, \ldots, \mathfrak{p}_n, como en un anillo noetheriano. Sea f \in \mathfrak{p}_1. Por la minimalidad, \mathfrak{p}_1 no contiene ningún otro \mathfrak{p}_i, así que no contiene el producto \mathfrak{p}_2 \cdots \mathfrak{p}_n, y podemos tomar g en ese producto y fuera de \mathfrak{p}_1. Entonces fg está en todos los \mathfrak{p}_i, de modo que fg = 0, mientras que g \neq 0.
Tomemos las elipses q_1 = 0 y q_2 = 0, con q_1 = \tfrac{x^2}{4} + y^2 - 1 y q_2 = x^2 + \tfrac{y^2}{4} - 1, y sea R = \mathbb{R}[x, y]/(q_1 q_2), que es reducido porque q_1 y q_2 son polinomios irreducibles distintos. El elemento q_1 se anula en toda la primera elipse y q_1 q_2 = 0. El elemento y solo se anula en cuatro puntos, así que no es divisor de cero.
Tampoco lo es q_1 + q_2: en cada elipse coincide con la ecuación de la otra, por lo que solo se anula en los cuatro puntos de corte. La suma de dos divisores de cero puede no ser divisor de cero, y los divisores de cero de un anillo reducido forman una unión de ideales primos, no un ideal.
Un idempotente e, es decir, un elemento con e^2 = e, parte el espectro en dos. Como e(1 - e) = 0 y e + (1 - e) = 1, todo ideal primo contiene exactamente uno de e y 1 - e, así que \operatorname{Spec} R es la unión disjunta de los cerrados V(e) y V(1 - e), que por tanto también son abiertos. Recíprocamente, toda partición de \operatorname{Spec} R en dos cerrados disjuntos proviene de un idempotente [1].
Un espacio irreducible es conexo, porque no puede contener dos abiertos no vacíos disjuntos. El recíproco falla. Sea R = \mathbb{Z}[x]/(x^2 - 1). Sus primos minimales son (x - 1) y (x + 1), los dos cocientes son \mathbb{Z}, y por eso cada componente es homeomorfa a \operatorname{Spec}\mathbb{Z}. Como (x - 1) + (x + 1) = (2, x - 1), las dos componentes se cortan en un solo punto, (2, x - 1), que está sobre el primo 2.
Por tanto \operatorname{Spec} R es conexo, y en efecto R no tiene más idempotentes que 0 y 1: el candidato \tfrac{1 + x}{2} necesita \tfrac{1}{2}. Si se permiten potencias de 2 en los denominadores, el punto de corte desaparece. Sobre \mathbb{Z}[\tfrac{1}{2}] los ideales (x - 1) y (x + 1) son coprimos, y el teorema chino del resto descompone \mathbb{Z}[\tfrac{1}{2}][x]/(x^2 - 1) en \mathbb{Z}[\tfrac{1}{2}] \times \mathbb{Z}[\tfrac{1}{2}], con el idempotente e = \tfrac{1 + x}{2}.
La fibra sobre 2 es \mathbb{Z}[x]/(2, x^2 - 1) = \mathbb{F}_2[x]/((x - 1)^2), porque x^2 - 1 y (x - 1)^2 coinciden módulo 2. Su espectro es el único punto (2, x - 1), donde se cortan las dos componentes, mientras que el anillo tiene el nilpotente x - 1, que el espectro no ve, igual que en la primera sección.