Sea R un dominio. Un producto de elementos no nulos es no nulo, así que S = R \setminus \{0\} es multiplicativo, y la localización S^{-1}R se llama cuerpo de fracciones \operatorname{Frac} R [1]. Es la localización R_{(0)} en el ideal primo (0), un anillo local cuyo ideal maximal es 0, es decir, un cuerpo. Directamente, un a/s no nulo tiene el inverso s/a.
Como R no tiene divisores de cero, a/1 = 0 solo cuando a = 0, así que R \to \operatorname{Frac} R es inyectiva. Si j \colon R \to K es un homomorfismo inyectivo en un cuerpo, lleva cada elemento no nulo a una unidad, así que se extiende de manera única a \operatorname{Frac} R \to K mediante a/s \mapsto j(a)j(s)^{-1} [1,2]. La imagen está formada por los cocientes de elementos de j(R), el menor subcuerpo de K que contiene a j(R).
Por ejemplo, \operatorname{Frac} \mathbb{Z} = \mathbb{Q}, y \operatorname{Frac} k[x] = k(x) es el cuerpo de las funciones racionales. Como toda serie de potencias no nula es x^n u con u una unidad, \operatorname{Frac} k[[x]] es el cuerpo k((x)) de las series de Laurent, con solo un número finito de potencias negativas de x. Un cuerpo es su propio cuerpo de fracciones.
Para los enteros gaussianos, \operatorname{Frac} \mathbb{Z}[i] = \mathbb{Q}(i), los números p + qi con p, q \in \mathbb{Q}. Un cociente de enteros gaussianos tiene coordenadas racionales porque 1/(a + bi) = (a - bi)/(a^2 + b^2), y recíprocamente p + qi = (m + ni)/d con enteros m, n, d. En la figura, los inversos de los enteros gaussianos se añaden en orden de la norma a^2 + b^2; tienen coordenadas racionales y se acumulan cerca de 0.
Si R tiene divisores de cero, ningún cuerpo lo contiene como subanillo, porque ab = 0 en un cuerpo obliga a a = 0 o b = 0. Aun así se pueden invertir los elementos que no son divisores de cero, y el resultado se llama anillo total de fracciones. Para k[x, y]/(xy), cuyo conjunto de ceros es la unión de los dos ejes, es k(x) \times k(y), un cuerpo de funciones racionales para cada eje.
Todo número racional se escribe como a/b con b > 0 y \operatorname{mcd}(a, b) = 1, y esta forma es única. Lo mismo ocurre en cualquier dominio de factorización única: se cancelan los factores primos comunes, y la forma reducida es única salvo multiplicar el numerador y el denominador por la misma unidad [2]. En k[x] el denominador se puede tomar mónico.
Sobre \mathbb{C} todo polinomio se descompone en factores lineales, así que una función racional no nula en forma irreducible es f = c\prod (z - a_i)/\prod (z - b_j), donde ningún a_i es igual a un b_j. Los a_i son los ceros de f y los b_j sus polos, así que f queda determinada, salvo la constante c, por sus ceros y sus polos contados con multiplicidad.
La figura dibuja las curvas de nivel |f| = \mathrm{const} de f = (z - a)/(z - b). Son circunferencias alrededor del cero a y alrededor del polo b, junto con la recta |f| = 1. Multiplicar el numerador y el denominador por z - c pone un cero y un polo en el mismo punto c, pero el elemento de \mathbb{C}(z) es el mismo, y las curvas de nivel no cambian. Cuando b se mueve hasta a, el factor se cancela y f pasa a ser la constante 1.
Una función racional f está en el anillo local \mathbb{C}[z]_{(z - a)} exactamente cuando a no es un polo de f. Una función racional sin polos es un polinomio, así que \mathbb{C}[z] es la intersección de todos los anillos \mathbb{C}[z]_{(z - a)} dentro de \mathbb{C}(z). Del mismo modo, un número racional cuyo denominador es primo con todo p es un entero, así que \mathbb{Z} es la intersección de los anillos \mathbb{Z}_{(p)} dentro de \mathbb{Q}.
En general, un dominio R es la intersección de sus localizaciones R_{\mathfrak{m}} en los ideales maximales, dentro de \operatorname{Frac} R [1]. Si x está en todo R_{\mathfrak{m}}, los elementos d \in R con dx \in R forman un ideal, y escribir x = a/s con s \notin \mathfrak{m} muestra que este ideal no está contenido en ningún ideal maximal. Así que contiene a 1, y x \in R.
Sin factorización única, la forma irreducible puede no ser única. En \mathbb{Z}[\sqrt{-5}] se tiene 2 \cdot 3 = (1 + \sqrt{-5})(1 - \sqrt{-5}), así que 2/(1 + \sqrt{-5}) = (1 - \sqrt{-5})/3. Ninguna de las dos formas se puede reducir, porque 2, 3, 1 + \sqrt{-5} y 1 - \sqrt{-5} son irreducibles y ninguno de ellos difiere de otro en una unidad.
Si f(x, y) es un polinomio irreducible, entonces k[x, y]/(f) es un dominio, y su cuerpo de fracciones se llama cuerpo de funciones de la curva f = 0. Sus elementos son cocientes g/h de polinomios en x e y con h no divisible por f, donde dos cocientes son iguales cuando coinciden como funciones sobre la curva.
Para la circunferencia x^2 + y^2 = 1 sobre \mathbb{R}, ponemos t = y/(1 + x) en el cuerpo de funciones. La recta por (-1, 0) de pendiente t vuelve a cortar la circunferencia en x = (1 - t^2)/(1 + t^2) e y = 2t/(1 + t^2). Estas fórmulas definen un homomorfismo del cuerpo de funciones en \mathbb{R}(t), y t \mapsto y/(1 + x) define su inverso, así que el cuerpo de funciones de la circunferencia es \mathbb{R}(t).
Los anillos, en cambio, son distintos. Si el anillo de coordenadas fuera \mathbb{R}[t], las coordenadas serían polinomios x(t) e y(t) con x(t)^2 + y(t)^2 = 1. Sea d el mayor de sus grados. Si d \geq 1, los coeficientes de t^{2d} dan u^2 + v^2 = 0, donde u y v son los coeficientes de t^d y no son ambos 0, lo cual es imposible sobre \mathbb{R}. Así, x e y serían constantes, que no pueden generar \mathbb{R}[t].
En la figura, una recta por (-1, 0) gira, y su segundo punto P en la circunferencia se mueve junto con su altura t en el eje y. Cada valor de t da un punto, y cada punto distinto de (-1, 0) da un valor de t. El punto (-1, 0) necesitaría la recta vertical, así que la identificación es entre cuerpos de funciones, no entre puntos.
No todas las curvas son así. Para y^2 = x^3 + 1, el cuerpo de funciones es k(x)(y), donde y cumple y^2 = x^3 + 1 sobre k(x). Para k = \mathbb{R} o \mathbb{C}, el polinomio x^3 + 1 tiene la raíz simple x = -1, así que no es un cuadrado en k(x), y el cuerpo de funciones es una extensión de grado 2 de k(x).