El artículo anterior terminó con la pregunta de qué ideales dan cuerpos. Empezamos con una pregunta más débil: qué ideales dan dominios de integridad. Un ideal \mathfrak{p} de A es primo si \mathfrak{p} \neq A y ab \in \mathfrak{p} implica a \in \mathfrak{p} o b \in \mathfrak{p} [1].
En \mathbb{Z}, el ideal (5) es primo, porque si 5 divide un producto, divide a alguno de los factores. El ideal (6) no lo es, ya que 2 \cdot 3 \in (6) mientras que 2, 3 \notin (6). La figura marca los puntos enteros de las hipérbolas ab = n, 2n, \ldots, 6n. Para n = 5 y n = 7 todos los puntos están en una recta donde a o b es múltiplo de n, mientras que para n = 6 y n = 9 puntos como (2, 3) y (3, 3) no están en ninguna de esas rectas.
Para n > 1, el ideal (n) es primo exactamente cuando n es un número primo, y (0) también es primo. En k[x], el ideal generado por un polinomio no constante f es primo exactamente cuando f no es producto de dos polinomios de grado menor. El ideal cero de A es primo exactamente cuando A es un dominio de integridad.
En A/\mathfrak{p}, el producto (a + \mathfrak{p})(b + \mathfrak{p}) es cero exactamente cuando ab \in \mathfrak{p}, y a + \mathfrak{p} es cero exactamente cuando a \in \mathfrak{p}. Así, \mathfrak{p} es primo exactamente cuando A/\mathfrak{p} es un dominio de integridad, donde la condición \mathfrak{p} \neq A corresponde a 1 \neq 0 en el cociente [2]. Del mismo modo, el núcleo de un homomorfismo en un dominio de integridad es un ideal primo.
Tomemos el cuerpo \mathbb{F}_2 = \mathbb{Z}/2, donde 1 + 1 = 0. La división entre un polinomio f de grado 3 deja un resto a + bx + cx^2 con a, b, c \in \mathbb{F}_2, así que \mathbb{F}_2[x]/(f) tiene ocho elementos, que la figura coloca en los vértices de un cubo. Como x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 + x + 1), el anillo \mathbb{F}_2[x]/(x^3 + 1) tiene tres pares de elementos no nulos con producto 0, unidos por líneas en la figura.
El polinomio x^3 + x + 1 no tiene raíces en \mathbb{F}_2, así que no es producto de polinomios de grado menor, y \mathbb{F}_2[x]/(x^3 + x + 1) es un dominio de integridad. Multiplicar por x una y otra vez desde 1 recorre los siete elementos no nulos antes de volver a 1, así que todo elemento no nulo es una potencia x^k con inverso x^{7 - k}. En general, multiplicar por un elemento no nulo de un dominio de integridad finito es inyectivo y, por tanto, sobreyectivo, así que todo dominio de integridad finito es un cuerpo.
Un ideal \mathfrak{m} de A es maximal si \mathfrak{m} \neq A y no hay ningún ideal estrictamente entre \mathfrak{m} y A, es decir, todo ideal I con \mathfrak{m} \subseteq I \subseteq A es \mathfrak{m} o A [1].
En \mathbb{Z}, los ideales que contienen a (n) son los (d) con d \mid n, como vimos para n = 12 en el artículo anterior. Para n > 1, los ideales estrictamente entre (n) y \mathbb{Z} corresponden por tanto a los divisores d con 1 < d < n, y (n) es maximal exactamente cuando n es un número primo.
La figura dibuja los puntos (n, d) con d \mid n, que se alinean sobre las rectas d = n/2, n/3, \ldots y sobre rectas horizontales. Una recta vertical recorre n = 2, 3, \ldots, 30 y colorea los puntos de su columna estrictamente entre 1 y n. Las columnas de los números primos solo tienen sus dos extremos, y corresponden a los ideales maximales (p) de \mathbb{Z}.
Un ideal \mathfrak{m} es maximal exactamente cuando A/\mathfrak{m} es un cuerpo. Si \mathfrak{m} es maximal y x \notin \mathfrak{m}, entonces \mathfrak{m} + (x) es estrictamente mayor que \mathfrak{m}, así que es A y 1 = y + ax con y \in \mathfrak{m}. Entonces (a + \mathfrak{m})(x + \mathfrak{m}) = 1 + \mathfrak{m}, así que toda clase no nula tiene inverso [2]. Recíprocamente, si A/\mathfrak{m} es un cuerpo, solo tiene los ideales 0 y él mismo, así que por la correspondencia de ideales no hay nada estrictamente entre \mathfrak{m} y A.
Todo cuerpo es un dominio de integridad, así que todo ideal maximal es primo. El recíproco es falso: (0) es primo en \mathbb{Z} pero está contenido en (2), y (x) es primo en \mathbb{Z}[x], porque \mathbb{Z}[x]/(x) \cong \mathbb{Z}, pero está contenido en (2, x). En \mathbb{Z} y en k[x], donde todo ideal es principal, todo ideal primo no nulo es maximal.
En la figura, cada punto (b, c) representa el polinomio f = x^2 + bx + c. Los polinomios con una raíz r cumplen c = -rb - r^2, así que llenan una recta, y cada una de esas rectas toca la parábola c = b^2/4. Cuando el punto móvil P está por debajo de la parábola, pasan por él dos de las rectas, y (x - r_1) y (x - r_2) están estrictamente entre (f) y \mathbb{R}[x]. Cuando P está por encima, no pasa ninguna recta por P, así que (f) es maximal y \mathbb{R}[x]/(f) es un cuerpo.
Sea \varphi : A \to B un homomorfismo y \mathfrak{q} un ideal primo de B. La preimagen \varphi^{-1}(\mathfrak{q}) es el núcleo de A \to B/\mathfrak{q}, un homomorfismo en un dominio de integridad, así que es un ideal primo de A [1]. La preimagen de un ideal maximal no tiene por qué ser maximal: para la inclusión \mathbb{Z} \to \mathbb{Q}, la preimagen del ideal maximal 0 de \mathbb{Q} es (0), que no es maximal en \mathbb{Z}.
Para la inclusión \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}[i], la preimagen de un ideal es su intersección con \mathbb{Z}. El elemento 2 + i es primo en \mathbb{Z}[i] [2], así que (2 + i) \cap \mathbb{Z} es un ideal primo de \mathbb{Z} que contiene a 5 = (2 + i)(2 - i), y por tanto es (5). En la otra dirección, el ideal de \mathbb{Z}[i] generado por 5 no es primo, ya que contiene a (2 + i)(2 - i) pero a ninguno de los dos factores.
La figura dibuja la circunferencia a^2 + b^2 = p y los enteros de Gauss a + bi que están sobre ella. Para p = 5, 13, 17 hay ocho puntos en dos grupos de cuatro, como el grupo de 2 + i y el de 2 - i, y dentro de un grupo los puntos difieren en las unidades 1, -1, i, -i. Los dos grupos generan dos ideales primos distintos sobre (p). Para p = 2 los cuatro puntos forman un solo grupo, y para p = 3 la circunferencia no tiene puntos, mientras que el propio 3, sobre la circunferencia a^2 + b^2 = 9, sigue siendo primo en \mathbb{Z}[i].
Todo anillo A \neq 0 tiene un ideal maximal. Los ideales propios de A están ordenados por inclusión, y la unión de una cadena de ideales propios es otra vez un ideal propio, porque no contiene a 1. El lema de Zorn da entonces un elemento maximal, que es un ideal maximal [1]. El mismo argumento, aplicado a los ideales propios que contienen a un ideal propio dado I, da un ideal maximal que contiene a I.
Si a no es una unidad, entonces (a) es un ideal propio y está contenido en algún ideal maximal, mientras que una unidad no está en ningún ideal propio. Así, las unidades son exactamente los elementos que no están en ningún ideal maximal. En \mathbb{Z}/30 los ideales maximales son (2), (3) y (5), y en la figura cada elemento que no es unidad está dentro de al menos uno de los tres círculos, mientras que las ocho unidades 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 quedan fuera de ellos.
Un anillo con exactamente un ideal maximal se llama anillo local, y en un anillo local los elementos que no son unidades son exactamente los del ideal maximal. El anillo \mathbb{Z}/8 es local, con ideal maximal (2). El anillo \mathbb{Z}/12 tiene los dos ideales maximales (2) y (3), y 3 + 4 = 7 muestra que el conjunto de sus elementos que no son unidades no es cerrado bajo la suma.