Un anillo con exactamente un ideal maximal se llama anillo local [1]. Escribimos (R, \mathfrak{m}) para un anillo local R con ideal maximal \mathfrak{m}, y llamamos cuerpo residual al cuerpo R/\mathfrak{m}. En todo el artículo, los anillos son conmutativos con 1 \neq 0. La definición es una condición sobre ideales, pero se puede comprobar elemento por elemento.
Para un anillo R son equivalentes [1,2]: (i) R tiene exactamente un ideal maximal; (ii) las no unidades de R forman un ideal; (iii) para todo a \in R, al menos uno de a y 1 - a es una unidad. La condición (iii) suele ser la más fácil de comprobar, porque mira un solo elemento cada vez.
De (i) a (ii): una no unidad a genera un ideal propio (a), que está contenido en algún ideal maximal, así que a \in \mathfrak{m}; y ningún elemento de \mathfrak{m} es una unidad. Por tanto, \mathfrak{m} es exactamente el conjunto de las no unidades. De (ii) a (iii): si a y 1 - a fueran ambos no unidades, su suma 1 también lo sería.
De (iii) a (i): si \mathfrak{m} y \mathfrak{n} fueran dos ideales maximales distintos, entonces \mathfrak{m} + \mathfrak{n} = R, de modo que 1 = a + b con a \in \mathfrak{m} y b \in \mathfrak{n}. Entonces ni a ni 1 - a = b son unidades, contra (iii). Como un anillo con 1 \neq 0 tiene al menos un ideal maximal, tiene exactamente uno.
Un ejemplo del análisis. Tomamos las funciones reales continuas definidas cerca del origen 0 del plano, y consideramos iguales dos de ellas cuando coinciden en algún disco alrededor de 0. Estas clases se llaman gérmenes en 0, y con la suma y el producto punto a punto forman un anillo C_0.
Si f(0) \neq 0, la continuidad da un disco alrededor de 0 en el que f no se anula, y allí está definida 1/f, así que f es una unidad de C_0. Si f(0) = 0, entonces (fg)(0) = 0 para toda g, y f no es una unidad. Las no unidades son los gérmenes que se anulan en 0, un ideal \mathfrak{m}, y C_0 es local con C_0/\mathfrak{m} \cong \mathbb{R} mediante f \mapsto f(0).
En la figura, las curvas f = 0 y f = 1 nunca se cortan, así que el origen está a lo sumo en una de ellas, y f o 1 - f es una unidad. El disco sombreado es el mayor de los dos discos alrededor de 0 en los que f o 1 - f no se anula. Cuando f(0) = 0, el disco de f se reduce al origen, mientras que 1 - f conserva uno grande.
Fijamos un primo p y llamamos \mathbb{Z}_{(p)} al conjunto de los números racionales que se pueden escribir como a/b con a, b \in \mathbb{Z} y b \notin p\mathbb{Z} [2]. Como b, d \notin p\mathbb{Z} implica bd \notin p\mathbb{Z}, las sumas y los productos se quedan en este conjunto, y \mathbb{Z}_{(p)} es un subanillo de \mathbb{Q} que contiene a \mathbb{Z}. Por ejemplo, 1/2 y 5/7 están en \mathbb{Z}_{(5)}, pero 1/5 no.
Escribimos x = a/b en forma irreducible. Si a \notin p\mathbb{Z}, entonces b/a también está en \mathbb{Z}_{(p)}, y x es una unidad. Si a \in p\mathbb{Z}, el único candidato a inverso es b/a, cuyo denominador en forma irreducible es divisible por p, así que x no es una unidad. Las no unidades son las fracciones con numerador divisible por p; forman el ideal p\mathbb{Z}_{(p)}, y \mathbb{Z}_{(p)} es local.
Sacando del numerador las potencias de p, todo x no nulo se escribe como x = up^n con u una unidad y n \geq 0. Así, un ideal no nulo está generado por p^n para el menor n que aparece en él, y los ideales forman una sola cadena \cdots \subsetneq (p^2) \subsetneq (p) \subsetneq (1), junto con (0).
El cuerpo residual es \mathbb{Z}_{(p)}/p\mathbb{Z}_{(p)} \cong \mathbb{F}_p, donde a/b va a \bar{a} \cdot \bar{b}^{-1}, que existe porque b \notin p\mathbb{Z}. Para p = 5, 1/2 va a 3, ya que 2 \cdot 3 = 6. En la figura, la clase de 0 reúne a \mathfrak{m} = 5\mathbb{Z}_{(5)}; la suma 5/7 + 10/3 = 85/21 se queda en ella, y 1 - 5/7 = 2/7 cae en la clase de 1.
Un homomorfismo de anillos \varphi \colon R \to S entre anillos locales (R, \mathfrak{m}) y (S, \mathfrak{n}) se llama local si \varphi(\mathfrak{m}) \subseteq \mathfrak{n}, o, de forma equivalente, si a es una unidad siempre que \varphi(a) lo sea. La reducción \mathbb{Z}_{(p)} \to \mathbb{F}_p es local. La inclusión \mathbb{Z}_{(p)} \to \mathbb{Q} no lo es: p está en p\mathbb{Z}_{(p)}, pero en \mathbb{Q} es una unidad, fuera del ideal maximal (0).
Otros anillos locales aparecen de la misma manera. En el anillo k[[x]] de series de potencias sobre un cuerpo k, una serie con término constante no nulo es una unidad, como en (1 - x)^{-1} = 1 + x + x^2 + \cdots, así que las no unidades forman el ideal (x). Los anillos \mathbb{Z}/p^a del artículo sobre el teorema chino del resto también son locales.
No todo anillo es local. En \mathbb{Z}, tanto 3 como 1 - 3 = -2 son no unidades, y los ideales maximales (2), (3), (5), \ldots son infinitos. Sobre un cuerpo k, el anillo de polinomios k[x] tiene un ideal maximal por cada polinomio mónico irreducible. Ambos se vuelven locales solo cuando permitimos denominadores adecuados, como hace \mathbb{Z}_{(p)} con \mathbb{Z}.
Un anillo con solo un número finito de ideales maximales \mathfrak{m}_1, \ldots, \mathfrak{m}_r se llama semilocal [1]. Los ideales maximales distintos son coprimos, así que el teorema chino del resto da R/J \cong R/\mathfrak{m}_1 \times \cdots \times R/\mathfrak{m}_r, donde J = \mathfrak{m}_1 \cap \cdots \cap \mathfrak{m}_r es el radical de Jacobson. Módulo J, un anillo semilocal es un producto de r cuerpos, y un anillo local es el caso r = 1.
Sea R el conjunto de las fracciones a/b con b \notin 3\mathbb{Z} \cup 5\mathbb{Z}. Como en \mathbb{Z}_{(p)}, una fracción en forma irreducible es una unidad exactamente cuando su numerador está fuera de 3\mathbb{Z} \cup 5\mathbb{Z}. Así, las no unidades forman la unión de los ideales 3R y 5R, con R/3R \cong \mathbb{F}_3 y R/5R \cong \mathbb{F}_5.
Todo ideal propio I está contenido en 3R o en 5R. Si no, I tiene un elemento x fuera de 3R y un elemento y fuera de 5R. Si alguno de ellos está fuera de ambos ideales, es una unidad; si no, x \in 5R e y \in 3R, y el numerador de x + y no es divisible ni por 3 ni por 5. Por tanto, 3R y 5R son los únicos ideales maximales, J = 15R y R/15R \cong \mathbb{F}_3 \times \mathbb{F}_5.
Sin embargo, R no se descompone como producto. Un producto A \times B de anillos no nulos contiene el idempotente (1, 0), mientras que R está dentro de \mathbb{Q} y es un dominio, donde e^2 = e obliga a e = 0 o e = 1. La descomposición de R/J no sube a R, a diferencia de k[x]/(x(x - 1)) \cong k \times k, donde el teorema chino del resto se aplica a los ideales coprimos (x) y (x - 1) del propio k[x].
Los gérmenes en los dos puntos 0 y 1 de la recta real se comportan de otra manera. Las funciones continuas definidas cerca de 0 y cerca de 1, consideradas iguales cuando coinciden cerca de ambos puntos, forman un anillo semilocal. Sus ideales maximales son \mathfrak{m}_0 y \mathfrak{m}_1, los gérmenes que se anulan en 0 y en 1; el argumento anterior funciona con valores en lugar de numeradores.
Aquí la función e que vale 1 cerca de 0 y 0 cerca de 1 es un idempotente, y f = ef + (1 - e)f descompone el anillo en los gérmenes en 0 por los gérmenes en 1. La primera parte de la figura muestra que ef coincide con f solo cerca de 0, y (1 - e)f solo cerca de 1.
Las funciones racionales definidas en 0 y 1 forman un anillo semilocal con los mismos dos ideales maximales, pero está dentro del cuerpo \mathbb{R}(x), así que sus únicos idempotentes son 0 y 1. En la segunda parte de la figura, g = (1 - x)(1 + sx) cumple g(0) = 1 y g(1) = 0 para todo s, pero g^2 - g solo se anula en los dos puntos, nunca en todo un intervalo.
Así, que un anillo semilocal sea un producto de anillos locales es una cuestión de idempotentes, la misma que la conexión de su espectro, que apareció en el artículo sobre las componentes irreducibles.