Un módulo sobre un anillo R es un grupo abeliano M con una multiplicación R \times M \to M tal que (rs)m = r(sm), (r + s)m = rm + sm, r(m + n) = rm + rn y 1m = m [1,2]. Sobre un cuerpo, los módulos son los espacios vectoriales. Otros ejemplos son el propio R, sus ideales, R^n y los cocientes R/I. Un \mathbb{Z}-módulo es simplemente un grupo abeliano, con nm = m + \cdots + m.
Un k[x]-módulo es un espacio vectorial V sobre k junto con una aplicación lineal T \colon V \to V, la acción de x; un polinomio p actúa como p(T). Sus submódulos son los subespacios W con T(W) \subseteq W. En la figura, V = \mathbb{R}^2 y T(a, b) = (a + b, b), una cizalla.
Para v = (a, b) con b \neq 0, los vectores v y Tv son independientes, así que el submódulo generado por v es todo \mathbb{R}^2; los puntos v, Tv, T^2v, \ldots están en una recta horizontal, a distancia b uno de otro. En el eje x se tiene Tv = v, y el eje x es el único submódulo distinto de 0 y de \mathbb{R}^2.
Un homomorfismo \varphi \colon M \to N es una aplicación aditiva con \varphi(rm) = r\varphi(m). Su núcleo \ker \varphi y su imagen \operatorname{im} \varphi son submódulos, y su conúcleo es \operatorname{coker} \varphi = N/\operatorname{im} \varphi. Así, \varphi es inyectiva cuando \ker \varphi = 0 y sobreyectiva cuando \operatorname{coker} \varphi = 0, y M/\ker \varphi \cong \operatorname{im} \varphi como para los anillos.
Por ejemplo, la multiplicación por 2 en \mathbb{Z} tiene núcleo 0 y conúcleo \mathbb{Z}/2, mientras que la multiplicación por 2 en \mathbb{Z}/2 es la aplicación nula, con núcleo y conúcleo iguales a \mathbb{Z}/2. Estas dos aplicaciones vuelven a aparecer en el lema de la serpiente.
Una sucesión de homomorfismos \cdots \to M_{i-1} \to M_i \to M_{i+1} \to \cdots es exacta en M_i cuando la imagen de la aplicación que llega es igual al núcleo de la que sale [1,2]. Así, 0 \to M \to N es exacta cuando M \to N es inyectiva, y M \to N \to 0 es exacta cuando es sobreyectiva.
Una sucesión exacta corta 0 \to A \to B \to C \to 0, con aplicaciones f y g, dice que f es inyectiva, g es sobreyectiva e \operatorname{im} f = \ker g. Así, B contiene una copia de A, y B/f(A) \cong C. Por ejemplo, 0 \to \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/2 \to 0, con la multiplicación por 2 seguida de la reducción, es exacta corta.
La sucesión se escinde si existe un homomorfismo s \colon C \to B con g \circ s = \mathrm{id}; entonces B \cong A \oplus C. Sobre un cuerpo toda sucesión exacta corta se escinde, porque se puede elegir un complemento de f(A). En la figura, f(t) = (t, t/2) y g(x, y) = y - x/2, las rectas g = c son las clases de f(\mathbb{R}), y cualquier recta L por 0 que no sea paralela a ellas corta a cada clase una sola vez, lo que define s.
Sobre \mathbb{Z}, una sucesión exacta corta puede no escindirse. Una escisión de 0 \to \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/2 \to 0 llevaría 1 a un elemento de orden 2 de \mathbb{Z}, y no lo hay. Del mismo modo, 0 \to \mathbb{Z}/2 \to \mathbb{Z}/4 \to \mathbb{Z}/2 \to 0 no se escinde, porque \mathbb{Z}/4 tiene un elemento de orden 4 y \mathbb{Z}/2 \oplus \mathbb{Z}/2 no.
Tomamos dos filas exactas A_1 \to B_1 \to C_1 \to 0 y 0 \to A_2 \to B_2 \to C_2, con aplicaciones f_1, g_1 y f_2, g_2, y aplicaciones \alpha, \beta, \gamma de la primera fila a la segunda tales que los dos cuadrados conmutan. El lema de la serpiente dice que hay una sucesión exacta \ker \alpha \to \ker \beta \to \ker \gamma \to \operatorname{coker} \alpha \to \operatorname{coker} \beta \to \operatorname{coker} \gamma [1].
Las aplicaciones entre los núcleos y entre los conúcleos vienen de las filas. La aplicación central \delta se construye con un camino por el diagrama. Para z \in \ker \gamma, elegimos y \in B_1 con g_1(y) = z. Entonces g_2(\beta(y)) = \gamma(z) = 0, así que \beta(y) = f_2(x) para un único x \in A_2, y \delta(z) es la clase de x en \operatorname{coker} \alpha.
Otra elección de y difiere en algún f_1(a), que cambia \beta(y) en \beta(f_1(a)) = f_2(\alpha(a)) y por tanto cambia x en \alpha(a), que es 0 en \operatorname{coker} \alpha. Así, \delta está bien definida, y es un homomorfismo. La exactitud en cada lugar se comprueba con un recorrido parecido por el diagrama.
En la figura, las dos filas son 0 \to \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/2 \to 0 y \alpha, \beta, \gamma son la multiplicación por 2. Entonces \ker \alpha = \ker \beta = 0 y \ker \gamma = \mathbb{Z}/2, y los tres conúcleos son \mathbb{Z}/2. Para z = 1 podemos tomar y = 1, de modo que \beta(y) = 2 = f_2(1), y \delta(1) es la clase de 1: la aplicación \delta es un isomorfismo.
La exactitud obliga entonces a que la aplicación \operatorname{coker} \alpha \to \operatorname{coker} \beta sea 0, y en efecto está inducida por la multiplicación por 2. Si las filas son exactas cortas, la sucesión empieza además con 0 \to \ker \alpha y termina con \operatorname{coker} \gamma \to 0. Aplicado a complejos, el lema de la serpiente produce las sucesiones exactas largas de homología.