Un anillo es un conjunto R con dos operaciones, la suma y la multiplicación, que cumplen las siguientes reglas. Con la suma, R es un grupo abeliano: la suma es asociativa y conmutativa, hay un elemento cero 0 y cada elemento a tiene un opuesto -a. La multiplicación es asociativa y tiene un elemento neutro 1. Las dos operaciones se relacionan mediante las leyes distributivas a(b + c) = ab + ac y (a + b)c = ac + bc [1].
La división no forma parte de la definición. En los enteros \mathbb{Z} podemos sumar, restar y multiplicar libremente, pero \frac{1}{2} no es un entero. Otros ejemplos son los polinomios con coeficientes reales y las funciones reales sobre un conjunto, con la suma y la multiplicación punto a punto.
En la figura, el rectángulo de lados a y b + c se divide en rectángulos de lados a, b y a, c, así que su área a(b + c) es igual a ab + ac. En un anillo general la ley distributiva es un axioma y no un hecho sobre áreas, pero dice lo mismo.
Un anillo es conmutativo cuando ab = ba para todos los elementos a y b. Las matrices reales 2 \times 2 forman un anillo que no es conmutativo. Sea A la cizalla (x, y) \mapsto (x + y, y) y B la rotación de 90 grados, (x, y) \mapsto (-y, x).
El producto AB aplica primero B y después A, y BA las aplica en el otro orden. La figura aplica los dos productos al cuadrado unidad. Las dos imágenes son paralelogramos distintos, así que AB \neq BA.
A partir de ahora, todos los anillos son conmutativos. Los anillos conmutativos aparecen en toda la teoría de números y la geometría algebraica, y son el tema de todos los artículos de esta sección [1].
Para un anillo conmutativo k, los polinomios a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n con coeficientes en k forman un anillo conmutativo k[x]. Los polinomios se suman coeficiente a coeficiente. Si f = \sum_i a_ix^i y g = \sum_j b_jx^j, el coeficiente de x^n en el producto fg es \sum_i a_ib_{n-i}.
En la figura, los coeficientes de f = 1 + 2x - x^2 y g = 1 + x + 2x^2 se dibujan como barras. Los coeficientes de g se invierten y se desplazan un paso cada vez, y cada coeficiente de fg = 1 + 3x + 3x^2 + 3x^3 - 2x^4 es la suma de los productos de los coeficientes que quedan alineados.
Solo se usan la suma y la multiplicación de coeficientes, así que la misma construcción sirve sobre cualquier anillo conmutativo, por ejemplo \mathbb{Z}[x] o (\mathbb{Z}/12)[x].
Un elemento u de R es una unidad cuando existe un elemento v con uv = 1. Las unidades de \mathbb{Z} son 1 y -1, y las unidades de k[x] para un cuerpo k son las constantes no nulas. Las unidades forman un grupo con la multiplicación, que se escribe R^\times.
En \mathbb{Z}/12, el anillo de restos módulo 12, las unidades son los restos coprimos con 12: 1, 5, 7 y 11. Por ejemplo, 5 \cdot 5 = 25 = 1 en \mathbb{Z}/12.
La figura dibuja la multiplicación por a en \mathbb{Z}/12 como flechas de x a ax. Cuando a es una unidad, la multiplicación por a^{-1} deshace la multiplicación por a, así que las flechas terminan en restos distintos. Cuando a no es una unidad, dos flechas terminan en el mismo resto y algún resto no recibe ninguna flecha.
Un elemento no nulo a es un divisor de cero cuando ab = 0 para algún b no nulo. En \mathbb{Z}/12 se tiene 3 \cdot 4 = 0, así que 3 y 4 son divisores de cero. Un divisor de cero nunca es una unidad: si uv = 1 y ub = 0, entonces b = vub = 0.
Los divisores de cero también aparecen entre las funciones. En el anillo de las funciones continuas sobre un intervalo, tomemos f y g que solo son no nulas en dos partes separadas del intervalo. En cada punto una de ellas vale 0, así que fg = 0 aunque ni f ni g son 0.
En la figura, las dos funciones con forma de colina se acercan y vuelven a alejarse. Mientras sus partes no nulas se solapan, el producto fg no es nulo, y cuando se separan, fg es la función cero.
Un anillo conmutativo es un dominio de integridad cuando 1 \neq 0 y no tiene divisores de cero. En un dominio de integridad se pueden cancelar factores no nulos: si ab = ac y a \neq 0, entonces a(b - c) = 0, así que b = c.
Los enteros, el anillo de polinomios k[x] sobre un cuerpo k y los enteros de Gauss \mathbb{Z}[i] = \{a + bi \mid a, b \in \mathbb{Z}\} son dominios de integridad. Un subanillo del cuerpo \mathbb{C} no tiene divisores de cero, porque \mathbb{C} no los tiene.
La figura multiplica los enteros de Gauss por números que van de 1 a 2 + i. Multiplicar por 2 + i gira el plano y lo estira por \sqrt{5}, así que puntos distintos siguen siendo distintos. La imagen es una red cuadrada más espaciada, la de los múltiplos de 2 + i.
Un anillo conmutativo es un cuerpo cuando 1 \neq 0 y todo elemento no nulo es una unidad. Los números racionales, los reales y los complejos son cuerpos, y también lo es \mathbb{Z}/p para todo primo p.
Todo dominio de integridad finito es un cuerpo. Si a \neq 0, la multiplicación por a es inyectiva por la cancelación, y una aplicación inyectiva de un conjunto finito en sí mismo es sobreyectiva, así que ab = 1 para algún b [2].
La figura une cada resto con su inverso. En \mathbb{Z}/7 todo resto no nulo tiene pareja: 2 \cdot 4 = 1 y 3 \cdot 5 = 1, mientras que 1 y 6 son sus propios inversos. En \mathbb{Z}/8 los restos 2, 4 y 6 no tienen pareja, porque \mathbb{Z}/8 tiene divisores de cero como 2 \cdot 4 = 0.
Un subanillo de R es un subconjunto que contiene a 1 y es cerrado para la suma, la resta y la multiplicación. Ejemplos son \mathbb{Z} \subset \mathbb{Z}[i] \subset \mathbb{C} y los polinomios pares \mathbb{Z}[x^2] \subset \mathbb{Z}[x].
Las fracciones cuyo denominador es una potencia de 2 forman un subanillo \mathbb{Z}[\frac{1}{2}] de \mathbb{Q}: las sumas y los productos de tales fracciones vuelven a tener como denominador una potencia de 2. Pero \frac{1}{3} no está en \mathbb{Z}[\frac{1}{2}], así que un subanillo no tiene por qué ser cerrado para la división.
La figura añade las marcas de los denominadores 2, 4, 8 y 16 entre 0 y 1. El producto \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{8} y la suma \frac{1}{4} + \frac{3}{8} = \frac{5}{8} caen sobre marcas, mientras que \frac{1}{3} queda estrictamente entre \frac{5}{16} y \frac{6}{16}, y ninguna marca más fina llega nunca a él.
Un homomorfismo de anillos \varphi\colon R \to S es una aplicación con \varphi(a + b) = \varphi(a) + \varphi(b), \varphi(ab) = \varphi(a)\varphi(b) y \varphi(1) = 1. Tomar restos da un homomorfismo \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/n, y sustituir x por un valor da un homomorfismo desde un anillo de polinomios.
Sustituir x = i da el homomorfismo \mathbb{R}[x] \to \mathbb{C}, f \mapsto f(i). En la figura, f(i) = a_0 + a_1i + a_2i^2 + a_3i^3 se dibuja como un camino de flechas: cada potencia de i gira la dirección 90 grados, y el camino termina en f(i).
Los polinomios que se envían a 0 forman el núcleo. Como i^2 + 1 = 0, todo múltiplo de x^2 + 1 está en el núcleo, y cuando f = (x^2 + 1)(1 + x) el camino vuelve al origen. Recíprocamente, un polinomio real con f(i) = 0 también cumple f(-i) = 0, así que el núcleo está formado exactamente por los múltiplos de x^2 + 1. El núcleo es cerrado para la suma y para la multiplicación por cualquier polinomio, y un subconjunto así de un anillo se llama ideal.