Un subconjunto S de un anillo R se llama multiplicativo si 1 \in S y st \in S para todos s, t \in S [1]. Los dos ejemplos principales son las potencias 1, f, f^2, \ldots de un elemento f y el complemento R \setminus \mathfrak{p} de un ideal primo, que es multiplicativo precisamente porque \mathfrak{p} es primo. El anillo \mathbb{Z}_{(p)} del artículo sobre anillos locales usa S = \mathbb{Z} \setminus p\mathbb{Z}.
En los pares (a, s) \in R \times S ponemos (a, s) \sim (b, t) cuando u(at - bs) = 0 para algún u \in S. La clase de (a, s) se escribe a/s, el conjunto de clases S^{-1}R, y con a/s + b/t = (at + bs)/st y (a/s)(b/t) = ab/st es un anillo [1,2]. El factor adicional u mantiene la transitividad cuando R tiene divisores de cero.
La aplicación a \mapsto a/1 es un homomorfismo de anillos R \to S^{-1}R, pero puede perder elementos: a/1 = 0 significa que ua = 0 para algún u \in S. En \mathbb{Z}/6 con S = \{1, 3\}, la clase de 2 se vuelve 0 porque 3 \cdot 2 = 0, y S^{-1}(\mathbb{Z}/6) \cong \mathbb{Z}/2. Si 0 \in S, por ejemplo cuando S está formado por las potencias de un elemento nilpotente, todo elemento se vuelve 0 y S^{-1}R es el anillo nulo.
En un dominio con 0 \notin S no se pierde nada, y u se puede omitir: a/s = b/t exactamente cuando at = bs. Para R = \mathbb{Z} y S = \{1, 2, 4, 8, \ldots\}, esto dice que los puntos (s, a) y (t, b) del plano están en la misma recta por el origen. En la figura, cada una de esas rectas reúne los pares que nombran una misma fracción, como 1/2 = 2/4 = 4/8, y S^{-1}\mathbb{Z} es el anillo \mathbb{Z}[1/2] de las fracciones cuyo denominador es una potencia de 2.
En S^{-1}R todo s \in S se vuelve una unidad con inverso 1/s, y S^{-1}R es el anillo más general en el que esto ocurre. Si \varphi \colon R \to A es un homomorfismo de anillos que lleva cada elemento de S a una unidad, existe exactamente un homomorfismo \tilde{\varphi} \colon S^{-1}R \to A con \tilde{\varphi}(a/1) = \varphi(a), a saber, \tilde{\varphi}(a/s) = \varphi(a)\varphi(s)^{-1} [1].
La fórmula está bien definida: si u(at - bs) = 0, entonces \varphi(u)(\varphi(a)\varphi(t) - \varphi(b)\varphi(s)) = 0, y como \varphi(u), \varphi(s) y \varphi(t) son unidades, \varphi(a)\varphi(s)^{-1} = \varphi(b)\varphi(t)^{-1}. Además es obligada, porque \tilde{\varphi}(a/s)\tilde{\varphi}(s/1) = \tilde{\varphi}(a/1). Así, dos anillos con esta propiedad son isomorfos, y podemos reconocer S^{-1}R por sus homomorfismos en lugar de por sus fracciones.
Por ejemplo, para f \in R, el anillo R_f = S^{-1}R con S = \{1, f, f^2, \ldots\} es isomorfo a R[t]/(ft - 1). Un homomorfismo de R[t]/(ft - 1) en A es un homomorfismo \varphi desde R junto con un elemento \varphi(t) que cumple \varphi(f)\varphi(t) = 1, así que existe exactamente cuando \varphi(f) es una unidad, y entonces \varphi(t) = \varphi(f)^{-1} queda determinado. Así, los dos anillos tienen los mismos homomorfismos hacia cada anillo A, y son isomorfos.
En la figura, R = \mathbb{R}[x, y] y f = x, de modo que R_x \cong \mathbb{R}[x, y, t]/(xt - 1) es un anillo de funciones sobre la superficie xt = 1 del espacio. Sobre cada punto (a, b) del plano con a \neq 0 hay un único punto (a, b, 1/a), y la evaluación en (a, b) se extiende a R_x llevando t a 1/a. Cuando el punto se acerca a la recta x = 0, su compañero en la superficie se va al infinito, y sobre esa recta no hay extensión.
Un ideal I de R se extiende al ideal S^{-1}I de las fracciones a/s con a \in I, y un ideal J de S^{-1}R se contrae a su preimagen, el conjunto de los a \in R con a/1 \in J [1]. Todo ideal de S^{-1}R es la extensión de su contracción, ya que a/s \in J da a/1 = (s/1)(a/s) \in J. En el otro sentido se pueden añadir elementos.
En \mathbb{Z}[1/2], el ideal (12) se extiende al ideal generado por 12 = 4 \cdot 3, que está generado por 3 porque 4 es una unidad, y este se contrae a 3\mathbb{Z}, mayor que 12\mathbb{Z}. En general, la contracción de S^{-1}I está formada por los a con ua \in I para algún u \in S. El primo (2) contiene a 2 \in S, así que su extensión contiene a 2/2 = 1 y es todo el anillo.
Para los ideales primos, la ida y vuelta es exacta. Si \mathfrak{p} \cap S es vacío y a/1 = c/s con c \in \mathfrak{p}, entonces u(as - c) = 0 para algún u \in S, así que usa \in \mathfrak{p} y us \notin \mathfrak{p} dan a \in \mathfrak{p}. De la misma manera se comprueba que S^{-1}\mathfrak{p} es primo. Así, los ideales primos de S^{-1}R corresponden a los ideales primos de R que no cortan a S, conservando las inclusiones [1].
En la figura, R = \mathbb{R}[x, y] y S = \mathbb{R}[x] \setminus \{0\}, de modo que S^{-1}R = \mathbb{R}(x)[y], los polinomios en y cuyos coeficientes son funciones racionales de x. Un punto (a, b) es el ideal maximal (x - a, y - b), que contiene a x - a \in S, así que todo punto desaparece, y también toda recta vertical x = a.
Una curva como y = x^2 - 1 o y^2 = x + 1 sobrevive. Para la segunda, un polinomio solo en x que sea divisible por y^2 - x - 1 debe ser 0, porque un múltiplo no nulo tiene grado al menos 2 en y. Los primos que sobreviven son los que cortan a \mathbb{R}[x] solo en 0, como (0) y (g) para un polinomio irreducible g en el que aparece y.
Para un ideal primo \mathfrak{p}, la localización R_{\mathfrak{p}} es S^{-1}R con S = R \setminus \mathfrak{p}. Sus ideales primos corresponden a los primos contenidos en \mathfrak{p}, así que \mathfrak{p}R_{\mathfrak{p}} es el único ideal maximal y R_{\mathfrak{p}} es local [1,2]. Para R = \mathbb{Z} y \mathfrak{p} = (p) se obtiene \mathbb{Z}_{(p)}, cuyos únicos ideales primos son (0) y p\mathbb{Z}_{(p)}.
Como se conservan las inclusiones, una cadena \mathfrak{p}_0 \subsetneq \cdots \subsetneq \mathfrak{p}_n de primos de R_{\mathfrak{p}} es lo mismo que una cadena así de primos de R que termina dentro de \mathfrak{p}. Por tanto, \dim R_{\mathfrak{p}} es igual a la altura de \mathfrak{p}, la mayor longitud de una cadena de primos que termina en \mathfrak{p}. Para \mathbb{R}[x, y] en (x, y), la cadena (0) \subsetneq (y) \subsetneq (x, y) ya tiene longitud 2.
Muchas propiedades se comprueban primo a primo. Un elemento a es 0 cuando a/1 = 0 en R_{\mathfrak{m}} para todo ideal maximal \mathfrak{m} [1]: si a \neq 0, los elementos u con ua = 0 forman un ideal propio, que está contenido en algún ideal maximal \mathfrak{m}, y entonces ningún u fuera de \mathfrak{m} anula a a.
Además, (a/s)^n = 0 significa que ua^n = 0 para algún u \in S, así que (ua)^n = 0 y a/s = ua/us es una fracción de un elemento nilpotente. Por tanto, el nilradical de S^{-1}R está formado por las fracciones de elementos nilpotentes, y juntando los dos hechos, R es reducido exactamente cuando todo R_{\mathfrak{m}} es reducido.
Por ejemplo, en R = \mathbb{R}[x]/(x^2(x - 1)) el elemento a = x(x - 1) no es 0, pero a^2 = 0. En R_{(x - 1)} el elemento x es una unidad, así que x^2(x - 1) = 0 da x - 1 = 0 y a/1 = 0. En R_{(x)} el elemento x - 1 es una unidad, así que allí x^2 = 0, y a/1 = (x - 1)x es una unidad por x, que no es 0.
En la figura, los representantes x(x - 1)(1 + hx) de a tienen todos valor 0 y pendiente -1 en 0, mientras que en 1 tienen valor 0 pero pendientes 1 + h que cambian con h. En R_{(x)}, donde x^2 = 0, un elemento queda determinado por su valor y su pendiente en 0, y la pendiente -1 no es 0. En R_{(x - 1)} solo cuenta el valor en 1, que es 0. Así, a solo es no nulo en la localización en el punto 0.