El conjunto de los ideales primos de un anillo A se llama su espectro y se escribe \operatorname{Spec} A; sus elementos se llaman puntos. Los puntos de \operatorname{Spec}\mathbb{Z} son (2), (3), (5), \ldots y (0). Para un cuerpo algebraicamente cerrado k, los puntos de \operatorname{Spec} k[x] son los ideales (x - a) con a \in k y (0). Como todo anillo no nulo tiene un ideal maximal, \operatorname{Spec} A solo es vacío para el anillo nulo [1].
En \operatorname{Spec} k[x, y] hay tres clases de puntos: los ideales maximales (x - a, y - b), que corresponden a los puntos del plano, los ideales (f) de polinomios irreducibles, que corresponden a curvas irreducibles, y (0). Así, una curva entera aparece como un solo punto del espectro.
Para un ideal I, sea V(I) el conjunto de los ideales primos que contienen a I. Entonces V(I) \cup V(J) = V(IJ), la intersección de cualquier familia V(I_\lambda) es el V de la suma de los I_\lambda, V((0)) = \operatorname{Spec} A y V(A) es vacío. Así, los conjuntos V(I) son los cerrados de una topología, la topología de Zariski [1,2]. Como todo ideal primo es radical, V(I) = V(\sqrt{I}).
En \operatorname{Spec}\mathbb{Z}, el conjunto V((n)) con n \neq 0 está formado por los factores primos de n, así que los cerrados son los conjuntos finitos de puntos (p) y el espacio entero. En la figura, V((12)) = V((6)) = \{(2), (3)\}, y V((12)) \cap V((45)) = V((3)) porque (12) + (45) = (3). Un cerrado V(I) que contiene todos los (p) tiene I \subseteq (2) \cap (3) \cap \cdots = (0), así que contiene también a (0).
La clausura de un punto \mathfrak{p} es V(\mathfrak{p}): un cerrado V(I) contiene a \mathfrak{p} exactamente cuando I \subseteq \mathfrak{p}, y entonces contiene a V(\mathfrak{p}). Así, los puntos cerrados son los ideales maximales. En \operatorname{Spec}\mathbb{Z} la clausura de (0) es el espacio entero, y (0) se llama su punto genérico. En \operatorname{Spec} k[x, y] la clausura del punto (f) es la curva f = 0 junto con (f) [1].
Estos espacios están lejos de ser de Hausdorff. En \operatorname{Spec} k[x] todo abierto no vacío es el complementario de un número finito de puntos cerrados y contiene a (0), así que dos abiertos no vacíos siempre se cortan. Aun así, de dos puntos distintos, uno siempre está en un abierto que no contiene al otro.
En la figura, los puntos reales de y^2 = x^3 - x forman un óvalo y una rama. Tres puntos del óvalo forman un cerrado, porque los conjuntos finitos de puntos cerrados son cerrados. Un polinomio que se anula en infinitos puntos del óvalo es múltiplo del irreducible y^2 - x^3 + x, así que la clausura de esos puntos es V((y^2 - x^3 + x)), que contiene también la rama. Los puntos repartidos por una región tienen como clausura el espacio entero.
Para f \in A, sea D(f) el conjunto de los ideales primos que no contienen a f, el complementario de V((f)). El complementario de V(I) es la unión de los D(f) con f \in I, así que forman una base de la topología, y D(f) \cap D(g) = D(fg) porque un ideal primo contiene a fg justo cuando contiene a f o a g. Por el artículo anterior, D(f) es vacío justo cuando f es nilpotente, y D(f) = \operatorname{Spec} A justo cuando f es una unidad.
\operatorname{Spec} A es cuasicompacto. Si está cubierto por conjuntos D(f_\lambda), ningún ideal primo contiene a todos los f_\lambda, así que generan el ideal unidad y 1 = a_1f_{\lambda_1} + \cdots + a_nf_{\lambda_n} para un número finito de índices. Un ideal primo fuera de estos n conjuntos contendría al 1, así que los n conjuntos D(f_{\lambda_i}) ya cubren el espacio [1].
En la figura, X = \operatorname{Spec}\mathbb{R}[x, y], y D(x) y D(y) dejan fuera las rectas x = 0 y y = 0. Su unión es X \setminus V((x, y)), el plano sin el origen, que es abierto pero no de la forma D(f). Al añadir D(x + y - 1) también queda cubierto el origen, lo que corresponde a 1 = x + y - (x + y - 1).
Un homomorfismo de anillos \varphi \colon A \to B lleva cada ideal primo \mathfrak{q} de B al ideal primo \varphi^{-1}(\mathfrak{q}) de A: si xy \in \varphi^{-1}(\mathfrak{q}), entonces \varphi(x)\varphi(y) \in \mathfrak{q}, así que \varphi(x) o \varphi(y) está en \mathfrak{q}. Esto da una aplicación \operatorname{Spec} B \to \operatorname{Spec} A en sentido contrario [1].
La aplicación es continua, porque la preimagen de V(I) es V(J) para el ideal J de B generado por \varphi(I). Para la proyección A \to A/I es un homeomorfismo de \operatorname{Spec}(A/I) sobre V(I), porque los ideales primos de A/I corresponden a los ideales primos de A que contienen a I [1].
La figura muestra la inclusión \mathbb{R}[x] \subseteq \mathbb{C}[x]. El punto (x - z) de \operatorname{Spec}\mathbb{C}[x] va a (x - z) \cap \mathbb{R}[x], que es (x - z) si z es real y ((x - z)(x - \bar{z})) si no; para z = 1 + i es (x^2 - 2x + 2). El plano se pliega por el eje real, así que los puntos cerrados de \operatorname{Spec}\mathbb{R}[x] forman el semiplano superior cerrado, y los que no están en el eje real tienen dos preimágenes.