El artículo anterior terminó con el hecho de que el núcleo de un homomorfismo de anillos es un ideal. Consideremos el homomorfismo \mathbb{R}[x] \to \mathbb{R} que sustituye x = 2. Su núcleo es el conjunto de los polinomios f con f(2) = 0. Si f_1(2) = f_2(2) = 0, entonces (f_1 + f_2)(2) = 0, y si f(2) = 0, entonces (gf)(2) = g(2) f(2) = 0 para todo polinomio g, sea cual sea el valor de g en 2.
La figura muestra esta segunda propiedad. La gráfica de g se mueve libremente y no tiene por qué pasar por (2, 0), pero la gráfica del producto gf pasa por (2, 0) en todo momento. Un ideal de un anillo conmutativo A es un subconjunto I con estas mismas dos propiedades: I contiene a 0 y es cerrado bajo la suma y la resta, y ax \in I para todo a \in A y todo x \in I [1].
Los múltiplos n\mathbb{Z} de un entero n forman un ideal de \mathbb{Z}, y el ideal cero 0 = \{0\} y el propio A son ideales de cualquier anillo. Si un ideal I contiene una unidad u, entonces 1 = u^{-1} u \in I y a = a \cdot 1 \in I para todo a, así que I = A. A diferencia de un subanillo, un ideal distinto de A nunca contiene a 1. En un cuerpo todo elemento no nulo es una unidad, así que un cuerpo tiene solo dos ideales, 0 y el propio cuerpo.
Dados elementos a_1, \ldots, a_n de A, las sumas r_1 a_1 + \cdots + r_n a_n con r_1, \ldots, r_n \in A forman un ideal, que se escribe (a_1, \ldots, a_n) [2]. Contiene a cada a_i, y todo ideal que contenga a cada a_i contiene todas estas sumas, así que (a_1, \ldots, a_n) es el menor ideal que contiene a a_1, \ldots, a_n. Se llama el ideal generado por a_1, \ldots, a_n.
En \mathbb{Z}, el ideal (4, 6) está formado por los enteros 4r + 6s. Todos son pares, y 2 = 6 - 4 es uno de ellos, así que (4, 6) contiene a (2) y está contenido en él, es decir, (4, 6) = (2). La figura parte de 0 y suma o resta 4 y 6. Tras dos rondas ha alcanzado todos los números pares entre -10 y 10, con 2 y -2 alcanzados como 6 - 4 y 4 - 6, y nunca alcanza un número impar.
En el anillo de polinomios k[x, y] sobre un cuerpo k, el ideal (x, y) está formado por los polinomios xf + yg. Son exactamente los polinomios cuyo término constante es 0, así que (x, y) es el núcleo del homomorfismo k[x, y] \to k que sustituye x = y = 0. Un ideal puede tener muchos conjuntos de generadores distintos, y un ideal generado por un número finito de elementos se llama finitamente generado.
Un ideal generado por un solo elemento se llama principal, y (a) = \{ra : r \in A\} está formado por los múltiplos de a. El ideal (b) contiene a a exactamente cuando a = rb para algún r \in A, es decir, cuando b divide a a, y entonces contiene también todos los múltiplos de a. Así, (a) \subseteq (b) se cumple exactamente cuando b \mid a, y la inclusión de ideales principales es la divisibilidad leída en sentido contrario.
La figura muestra los seis ideales de \mathbb{Z} que contienen a 12, con los ideales mayores más arriba y líneas para la inclusión. Para cada n de la figura, los ideales que contienen a n son los (d) con d \mid n, y se extienden hacia arriba desde (n), el menor ideal que contiene a n. Dos ideales principales son iguales cuando cada generador divide al otro, lo que en un dominio de integridad significa que los generadores difieren en un factor que es una unidad, como en (6) = (-6) y (2x - 4) = (x - 2).
Todo ideal de \mathbb{Z} es principal. Si I \neq 0, sea d el menor elemento positivo de I, y dividamos cualquier n \in I como n = qd + r con 0 \leq r < d. Entonces r = n - qd está en I, así que r = 0 por la elección de d, e I = (d). El mismo argumento con grados muestra que todo ideal de k[x] es principal, y el ideal de los polinomios que se anulan en 2 es (x - 2). En k[x, y] esto falla: si (x, y) = (f), entonces f divide a x y a y, así que f es una constante no nula y (f) contiene a 1, que no está en (x, y).
Para ideales I y J de A, la suma I + J = \{x + y : x \in I, y \in J\} es el menor ideal que contiene a ambos, la intersección I \cap J también es un ideal, y el producto IJ es el ideal generado por los productos xy con x \in I e y \in J [1]. En \mathbb{Z} vienen dados por el máximo común divisor, el mínimo común múltiplo y el producto: (12) + (18) = (6), (12) \cap (18) = (36) y (12)(18) = (216).
Cada producto xy está en I y en J, así que siempre se cumple IJ \subseteq I \cap J. Los dos pueden ser distintos, como muestra (216) \subsetneq (36), pero son iguales cuando I + J = A. En ese caso 1 = a + b para algún a \in I y algún b \in J, y todo c \in I \cap J es la suma c = ca + cb de dos elementos de IJ. Por ejemplo, (4) + (9) = (1) y (4)(9) = (36) = (4) \cap (9).
En k[x, y] estas operaciones se pueden ver a través de los conjuntos de ceros. Sean f = 0 la circunferencia de la figura y g = 0, h = 0 las dos rectas, y tomemos I = (fg) y J = (fh). Los ceros comunes de I + J son los puntos donde se anulan a la vez fg y fh, es decir, la circunferencia y el punto P donde se cortan las rectas. Tanto I \cap J = (fgh) como IJ = (f^2 gh) se anulan exactamente en la circunferencia y en las dos rectas, pero f aparece dos veces en el producto, así que para IJ la figura dibuja la circunferencia con una línea doble.
Para ideales I y J, el cociente de ideales (I : J) es el conjunto de los a \in A con aJ \subseteq I, es decir, los elementos cuyo producto con cualquier elemento de J está en I [1]. Es un ideal y contiene a I. En \mathbb{Z}, el cociente ((12) : (8)) está formado por los a para los que 8a es múltiplo de 12. Como 8 ya aporta el factor 4 de 12, esto significa que 3 divide a a, así que ((12) : (8)) = (3).
En general ((m) : (n)) = (m / \operatorname{mcd}(m, n)): el generador es lo que queda de m al quitar los factores primos que aporta n. En la figura, los factores primos de n llenan los cuadrados 2, 2, 3 de 12, y el producto de los cuadrados que quedan vacíos genera ((12) : (n)). Cuando n = 24 se llenan todos los cuadrados y el cociente es (1) = \mathbb{Z}, y cuando n = 5 no se llena ninguno y el cociente es (12).
El cociente (0 : J) se llama el anulador de J y se escribe \operatorname{Ann}(J), y \operatorname{Ann}(x) = (0 : (x)) para un solo elemento. En \mathbb{Z}/12, los elementos a con 8a = 0 son 0, 3, 6, 9, así que \operatorname{Ann}(8) es el ideal generado por 3, la imagen de ((12) : (8)) = (3). Un elemento no nulo es un divisor de cero exactamente cuando está en \operatorname{Ann}(x) para algún x \neq 0, así que en un dominio de integridad \operatorname{Ann}(x) = 0 para todo x \neq 0.
Fijemos un ideal I de A y consideremos iguales a y b cuando a - b \in I. La clase de a es el conjunto a + I = \{a + x : x \in I\}, y a + I = b + I exactamente cuando a - b \in I. El conjunto de las clases se escribe A/I, y las clases se suman y se multiplican mediante sus representantes: (a + I) + (b + I) = (a + b) + I y (a + I)(b + I) = ab + I [2].
Estas operaciones no dependen de los representantes elegidos. Si a_1 = a + x y b_1 = b + y con x, y \in I, entonces a_1 b_1 = ab + (ay + xb + xy), y los términos entre paréntesis están en I porque I absorbe la multiplicación por cualquier elemento de A. Aquí es donde hace falta la definición de ideal. Con estas operaciones A/I es un anillo conmutativo, el anillo cociente, y a \mapsto a + I es un homomorfismo sobreyectivo A \to A/I con núcleo I, así que todo ideal es un núcleo [1].
El anillo \mathbb{Z}/n de los enteros módulo n es el cociente de \mathbb{Z} por (n). En \mathbb{Z}[x]/(x - 2) el elemento x - 2 se vuelve 0, así que x y 2 se vuelven iguales y 2x^k se puede cambiar por x^{k+1}. La figura parte de la constante 11 y cambia una y otra vez dos puntos de una línea por un punto de la línea siguiente. El polinomio pasa de 11 a 5x + 1, a 2x^2 + x + 1 y a x^3 + x + 1, cuyos coeficientes son las cifras de 11 en binario, mientras su valor en x = 2 sigue siendo 11.
Sea \varphi : A \to B un homomorfismo de anillos. Enviar la clase a + \ker\varphi a \varphi(a) da una aplicación bien definida A/\ker\varphi \to B, porque a - a_1 \in \ker\varphi implica \varphi(a) = \varphi(a_1). Es un homomorfismo inyectivo, ya que \varphi(a) = 0 significa a \in \ker\varphi, y su imagen es \operatorname{im}\varphi, así que A/\ker\varphi \cong \operatorname{im}\varphi [2]. Para reconocer un anillo cociente basta con encontrar un homomorfismo con el núcleo adecuado.
Sustituir x = i da un homomorfismo sobreyectivo \mathbb{R}[x] \to \mathbb{C} cuyo núcleo es (x^2 + 1), así que \mathbb{R}[x]/(x^2 + 1) \cong \mathbb{C}. Sustituir x = 2 da un homomorfismo sobreyectivo \mathbb{Z}[x] \to \mathbb{Z}, y la división entre el polinomio mónico x - 2 da f = (x - 2)q + f(2) con q \in \mathbb{Z}[x], así que el núcleo es (x - 2) y \mathbb{Z}[x]/(x - 2) \cong \mathbb{Z}. En la figura anterior, dos disposiciones de puntos dan el mismo elemento exactamente cuando tienen el mismo valor en x = 2.
El homomorfismo \mathbb{R}[x, y] \to \mathbb{R}[t] con x \mapsto t e y \mapsto t^2 restringe un polinomio a la parábola y = x^2. Es sobreyectivo, y al escribir y = x^2 + (y - x^2) y desarrollar se obtiene F(x, y) = F(x, x^2) + (y - x^2)G para algún polinomio G, así que su núcleo es (y - x^2) y \mathbb{R}[x, y]/(y - x^2) \cong \mathbb{R}[t]. En la figura, las curvas de nivel de F = x + a(y - x^2) cambian al cambiar a, pero sobre la parábola F es igual a x, así que los puntos donde las curvas de nivel cortan la parábola no se mueven.
Los ideales de un anillo cociente se pueden encontrar en el anillo original. Sea \pi : A \to A/I la aplicación cociente. Para un ideal J de A que contiene a I, la imagen J/I = \pi(J) es un ideal de A/I, y para un ideal \bar{J} de A/I, la preimagen \pi^{-1}(\bar{J}) es un ideal de A que contiene a I. Estas dos operaciones se deshacen la una a la otra y conservan la inclusión, así que los ideales de A/I se corresponden uno a uno con los ideales de A que contienen a I [1,2].
Al aplicar el teorema del homomorfismo a A/I \to A/J, a + I \mapsto a + J, cuyo núcleo es J/I, se obtiene (A/I)/(J/I) \cong A/J. Para A = \mathbb{Z} e I = (12), los ideales que contienen a (12) son los seis ideales de la figura de Ideales principales y divisibilidad, así que \mathbb{Z}/12 tiene exactamente seis ideales, y (4), por ejemplo, corresponde a \{0, 4, 8\}. Como todo ideal de \mathbb{R}[x] es principal, los ideales de \mathbb{R}[x]/(f) se corresponden del mismo modo con los divisores mónicos de f.
En la figura, f = x^3 - 3x + c tiene ocho divisores mónicos mientras sus tres raíces son reales y distintas, seis cuando dos de las raíces se juntan en c = 2, y cuatro cuando esas dos se vuelven un par complejo, que da un solo factor real x^2 + px + q. Si f no es producto de dos polinomios de grado menor, el cociente tiene solo los ideales 0 y él mismo. Entonces todo a \neq 0 genera el anillo entero y es una unidad, así que el cociente es un cuerpo, como \mathbb{R}[x]/(x^2 + 1) \cong \mathbb{C}. Qué ideales dan cuerpos es el tema del próximo artículo.