Una aplicación \beta \colon M \times N \to P de R-módulos es bilineal si es lineal en cada variable. El producto tensorial M \otimes_R N es un módulo con una aplicación bilineal (m, n) \mapsto m \otimes n tal que toda \beta bilineal se factoriza como \beta(m, n) = \varphi(m \otimes n) para exactamente una aplicación lineal \varphi [1,2]. Se construye como el módulo libre sobre los pares (m, n) módulo las relaciones de bilinealidad, y la propiedad universal lo determina salvo isomorfismo.
Sus elementos son sumas finitas \sum m_i \otimes n_i, y los de la forma m \otimes n se llaman tensores puros. Para módulos libres, R^m \otimes_R R^n \cong R^{mn} con base e_i \otimes f_j, y el tensor puro v \otimes w tiene las coordenadas v_i w_j, una matriz m \times n de rango a lo sumo 1.
La figura dibuja v \otimes w para v, w \in \mathbb{R}^5 como una cuadrícula de 5 \times 5 cuyos cuadrados tienen área proporcional a |v_i w_j|. Cada fila es un múltiplo de w. Al sumar un segundo tensor puro p \otimes q se obtiene una cuadrícula cuyas filas ya no son proporcionales, así que la suma no es un tensor puro: la mayoría de los elementos de un producto tensorial son sumas de verdad.
La torsión puede anular tensores. En \mathbb{Z}/2 \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}/3 se tiene 1 \otimes 1 = 3(1 \otimes 1) - 2(1 \otimes 1) = (1 \otimes 3) - (2 \otimes 1) = 0, porque 3 = 0 en \mathbb{Z}/3 y 2 = 0 en \mathbb{Z}/2, así que todo el producto tensorial es 0. En general, \mathbb{Z}/m \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}/n \cong \mathbb{Z}/d con d = \operatorname{mcd}(m, n) [2].
Los cocientes y las localizaciones de módulos son productos tensoriales. Para un ideal I, la aplicación \bar{r} \otimes m \mapsto rm da R/I \otimes_R M \cong M/IM, y para un conjunto multiplicativo S, la aplicación (r/s) \otimes m \mapsto rm/s da S^{-1}R \otimes_R M \cong S^{-1}M [1]. Así, ambas operaciones son casos de tensorizar con un módulo fijo.
Tensorizar es exacto por la derecha: si M_1 \to M_2 \to M_3 \to 0 es exacta, también lo es M_1 \otimes N \to M_2 \otimes N \to M_3 \otimes N \to 0 [1]. La razón es que el conúcleo de la primera aplicación tiene la propiedad universal de M_3 \otimes N: una aplicación bilineal en M_3 \times N es lo mismo que una aplicación bilineal en M_2 \times N que se anula en la imagen de M_1.
La inyectividad no se conserva. La multiplicación por 2 en \mathbb{Z} es inyectiva, pero al tensorizar con \mathbb{Z}/2 se convierte en la multiplicación por 2 en \mathbb{Z} \otimes \mathbb{Z}/2 \cong \mathbb{Z}/2, que es 0. En la figura, los enteros de las dos filas se pliegan en las clases \bar{0} y \bar{1}, y cada flecha n \mapsto 2n llega a \bar{0}; en particular, \bar{1} va a \bar{0}.
Un módulo N para el que tensorizar conserva las aplicaciones inyectivas se llama plano. Los módulos libres son planos, y también toda localización S^{-1}R, y por eso la localización conserva las sucesiones exactas. La planitud tiene su propio artículo más adelante en esta colección.
Si A y B son R-álgebras, entonces A \otimes_R B es un anillo con (a_1 \otimes b_1)(a_2 \otimes b_2) = a_1a_2 \otimes b_1b_2, y a \mapsto a \otimes 1 y b \mapsto 1 \otimes b son homomorfismos de anillos [1]. Un par de homomorfismos de R-álgebras A \to C y B \to C es lo mismo que un homomorfismo de R-álgebras A \otimes_R B \to C.
Por ejemplo, R[x] \otimes_R R[y] \cong R[x, y], y B \otimes_R R[x]/(f) \cong B[x]/(f): tensorizar con B conserva los generadores y las relaciones y cambia los coeficientes. Si A y B son los anillos de coordenadas de X e Y sobre un cuerpo k, entonces A \otimes_k B es el anillo de coordenadas de X \times Y; en general, \operatorname{Spec}(A \otimes_R B) es el producto fibrado de \operatorname{Spec} A y \operatorname{Spec} B sobre \operatorname{Spec} R.
Aunque A y B sean cuerpos, A \otimes_R B puede no serlo. Como \mathbb{C} = \mathbb{R}[x]/(x^2 + 1), se obtiene \mathbb{C} \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C} \cong \mathbb{C}[x]/(x^2 + 1), y sobre \mathbb{C} los factores x - i y x + i son coprimos, así que el teorema chino del resto da \mathbb{C} \times \mathbb{C}. Las imágenes de x - i y x + i no son nulas, pero su producto es 0.
La figura muestra la superficie |z^2 + 1| sobre el plano complejo. Sobre el eje real, su altura x^2 + 1 nunca llega a 0, y por eso \mathbb{R}[x]/(x^2 + 1) es el cuerpo \mathbb{C}. Sobre \mathbb{C} la superficie toca el 0 en i y en -i, y esos dos puntos dan los dos factores de \mathbb{C} \times \mathbb{C}.