En \mathbb{Z}/4 el elemento 2 no es 0, pero 2^2 = 4 = 0. Un elemento a de un anillo A es nilpotente si a^n = 0 para algún n \geq 1, y el menor de esos n se llama su índice. En \mathbb{Z}/27 todo múltiplo de 3 es nilpotente; por ejemplo, 6^2 = 36 = 9 y 6^3 = 216 = 0. En k[x]/(x^n) la clase de x es nilpotente de índice exactamente n [1].
Un nilpotente no nulo es un divisor de cero: si a \neq 0 tiene índice n, entonces n \geq 2 y a \cdot a^{n-1} = 0 con a^{n-1} \neq 0. Por eso un dominio de integridad no tiene más elemento nilpotente que el 0. El recíproco es falso: \mathbb{Z}/6 tiene los divisores de cero 2 y 3, pero ninguna potencia de 2 ni de 3 es múltiplo de 6, así que su único elemento nilpotente es el 0.
Los elementos nilpotentes forman un ideal, el nilradical \mathfrak{N}(A). Si a^n = 0, entonces (ra)^n = r^n a^n = 0. Si a^m = 0 y b^n = 0, desarrollamos (a + b)^{m+n-1} con el binomio de Newton: cada término es un múltiplo de a^i b^j con i + j = m + n - 1, de modo que i \geq m o j \geq n, y el término es 0. El desarrollo usa ab = ba; de hecho, la suma de dos matrices nilpotentes no tiene por qué ser nilpotente.
Si la clase de x en A/\mathfrak{N}(A) es nilpotente, algún x^n es nilpotente, y también lo es x. Así, el único nilpotente de A/\mathfrak{N}(A) es el 0; un anillo así se llama reducido. En la figura las hojas son los elementos de \mathbb{Z}/27, las que están bajo el vértice 0 de profundidad 1 forman \mathfrak{N}(\mathbb{Z}/27) = (3), y el cociente lleva cada hoja a su vértice de profundidad 1, con lo que queda el cuerpo \mathbb{Z}/3.
Para un ideal I de A, el radical \sqrt{I} es el conjunto de los elementos a con a^n \in I para algún n \geq 1. El mismo uso del binomio de Newton muestra que \sqrt{I} es un ideal que contiene a I. Un elemento está en \sqrt{I} exactamente cuando su clase en A/I es nilpotente, así que \sqrt{I}/I = \mathfrak{N}(A/I) y \sqrt{(0)} = \mathfrak{N}(A) [1].
En \mathbb{Z}, alguna potencia de a es múltiplo de 72 = 2^3 \cdot 3^2 justo cuando 2 y 3 dividen a a, así que \sqrt{(72)} = (6): los factores primos se conservan y los exponentes se pierden. Igualmente, \sqrt{(x^2(x - 1)^3)} = (x(x - 1)) en k[x] conserva las raíces 0 y 1 pero olvida sus multiplicidades. Un ideal con I = \sqrt{I} se llama radical; los ideales primos son radicales, porque a^n \in \mathfrak{p} implica a \in \mathfrak{p} [2].
En la figura, f = x^2(x - 1)^3. Un polinomio es múltiplo de f cuando se anula con orden al menos 2 en 0 y al menos 3 en 1; entonces, cerca de cada raíz, su gráfica queda dentro de una región como |y| \leq 3x^2 o |y| \leq 3|x - 1|^3. Para h = x(x - 1), la gráfica de h^k cabe en 0 desde k = 2 y en 1 desde k = 3, así que h \in \sqrt{(f)}, mientras que para h = x se tiene h^k(1) = 1 para todo k, así que x \notin \sqrt{(f)}.
Un elemento nilpotente está en todo ideal primo, porque a^n = 0 \in \mathfrak{p} implica a \in \mathfrak{p}. Recíprocamente, sea a un elemento que no es nilpotente. Entonces S = \{1, a, a^2, \ldots\} no contiene al 0, y el lema de Zorn da un ideal \mathfrak{p} maximal entre los ideales disjuntos de S, con el mismo argumento que prueba que existen ideales maximales.
Este \mathfrak{p} es primo. Si x \notin \mathfrak{p} y y \notin \mathfrak{p}, los ideales mayores \mathfrak{p} + (x) y \mathfrak{p} + (y) cortan a S, digamos en a^i y a^j, y entonces a^{i+j} \in \mathfrak{p} + (xy), de modo que xy \notin \mathfrak{p}. Como a \notin \mathfrak{p}, \mathfrak{N}(A) es la intersección de todos los ideales primos de A; del mismo modo, \sqrt{I} es la intersección de los primos que contienen a I [1].
Los ideales primos de \mathbb{Z}/72 son (2) y (3), así que \mathfrak{N}(\mathbb{Z}/72) = (2) \cap (3) = (6). La figura sigue a, a^2, a^3, \ldots hasta que una potencia se repite y traza así una cola y un lazo; los puntos rellenos están en (2) y los puntos con anillo, en (3). Ninguna potencia de 2 está en (3), ninguna potencia de 3 está en (2) y las de 5 evitan ambos, mientras que las de 6 llegan a 0, que está en todo ideal primo.
Si a^n = 0, entonces (1 + a)(1 - a + a^2 - \cdots + (-1)^{n-1}a^{n-1}) = 1 + (-1)^{n-1}a^n = 1, así que 1 + a es una unidad: la serie geométrica de su inverso se detiene tras n términos. Para una unidad u, u + a = u(1 + u^{-1}a) vuelve a ser una unidad, porque u^{-1}a es nilpotente. En \mathbb{Z}/8 las unidades 1, 3, 5, 7 son 1 más los nilpotentes 0, 2, 4, 6 [1].
Por tanto, un nilpotente a está en todo ideal maximal \mathfrak{m}: si no, \mathfrak{m} + (a) = A, así que m + ra = 1 para algún m \in \mathfrak{m} y algún r \in A, y m = 1 - ra sería una unidad en \mathfrak{m}. La intersección de todos los ideales maximales es el radical de Jacobson \operatorname{Jac}(A). Un elemento x está en él exactamente cuando 1 - xy es una unidad para todo y \in A, y \mathfrak{N}(A) \subseteq \operatorname{Jac}(A).
La inclusión puede ser estricta. En el anillo de las fracciones con denominador impar, 2 no es nilpotente, pero para todo y = c/d con d impar, 1 - 2y = (d - 2c)/d tiene numerador y denominador impares, así que es una unidad, y 2 está en el radical de Jacobson.
En la figura, los elementos de \mathbb{Z}/10000 se muestran con cuatro cifras. Como 20^4 = 160000 = 0, el inverso de 21 es 1 - 20 + 400 - 8000 = 2381. El término 20^k es múltiplo de 10^k y no cambia las últimas k cifras, así que cada término nuevo fija una cifra más por la derecha. Al final, 21 \times 2381 = 50001, cuya quinta cifra queda fuera, y la pantalla muestra 0001.
Sobre un cuerpo k el grado de un producto es la suma de los grados, así que las unidades de k[x] son las constantes no nulas. Sobre \mathbb{Z}/4 esto falla, porque (1 + 2x)^2 = 1 + 4x + 4x^2 = 1. En general, f = a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n es una unidad de A[x] exactamente cuando a_0 es una unidad y a_1, \ldots, a_n son nilpotentes [1].
En ese caso, a_1x + \cdots + a_nx^n es nilpotente, y f es una unidad más un nilpotente, luego una unidad. Recíprocamente, sean f una unidad y \mathfrak{p} un ideal primo. La imagen de f en (A/\mathfrak{p})[x] es una unidad de un anillo de polinomios sobre un dominio de integridad, luego es constante, y a_1, \ldots, a_n \in \mathfrak{p}. Como esto vale para todo \mathfrak{p}, son nilpotentes. Igualmente, f es nilpotente justo cuando lo son todos sus coeficientes.
En el anillo de series formales A[[x]] la condición es más débil: f es una unidad en cuanto lo es a_0, porque los coeficientes del inverso se pueden hallar uno tras otro. Por ejemplo, 1 - x tiene el inverso 1 + x + x^2 + \cdots en k[[x]] [1].
La figura trabaja en \mathbb{R}[\varepsilon], \varepsilon^2 = 0, y dibuja f = \alpha(x) + \varepsilon\beta(x) como la banda de gráficas de f_s = \alpha + s\beta para s pequeño. Para \alpha = 2 el inverso es g = 1/2 - \varepsilon\beta/4, y, con g_s formado igual, f_s g_s = 1 - s^2\beta^2/4 difiere de 1 en un múltiplo de s^2. Si \alpha no es constante, f no es una unidad: al poner \varepsilon = 0, \alpha sería una unidad de \mathbb{R}[x].