次の文章を読んで，［ ］に適した式または数値を，{ } からは適切なものを一つ選びその番号を，それぞれの解答欄に記入せよ。なお，［ ］はすでに［ ］で与えられたものと同じものを表す。また，問 1 では，指示にしたがって，解答を解答欄に記入せよ。重力は鉛直下向きにかかり，円周率を ，透磁率を とし，空気抵抗は無視できるものとする。微小な角度 [rad] に対して となることを必要に応じて利用せよ。
(1) 図 1(a) のように，円形のターンテーブルを地面に水平に設置する。ターンテーブルの回転軸は中心の点 を貫く鉛直方向にあり，回転させるときに摩擦力ははたらかないとする。また，ターンテーブルは絶縁体で作られており，その質量は無視できるものとする。ターンテーブル上の点 と点 に棒状の導体を鉛直上向きに固定した。図 1(b) に示すように，点 は点 から の距離に，点 は点 から の距離にあり，線分 上に点 がある。これらの導体は導線によって外部電源につながれており，電流を流すことができる。また，棒状の導体は変形せず，太さは無視できるものとする。
次に，図 1(b) のように地面上に固定された 軸と 軸をとり， 軸の正の向きに磁束密度 の一様な磁場を加えた。図 1(b) の矢印で示す方向から見ると図 1(c) のような位置関係になっており，導体の長さはいずれも である。ここで，点 に固定した導体に，鉛直上向きに電流 を流すと，この導体には 軸の正の向きに大きさ ［イ］ の力がはたらく。図 1(b) のように線分 が 軸に平行となるようにターンテーブルを静止させた状態から，電流 と同時に，点 に固定した導体に電流 を流すと，ターンテーブルは回転せずに静止していた。このとき，点 上に固定した導体に流れる電流の向きは {ロ: (1)，(2)} であり， の大きさは ［ハ］ である。ここで，導線に流れる電流が作る磁場は無視でき，導線にはたらく力はターンテーブルの回転に寄与しないとする。
(2) 図 2(a), (b) のように，(1) の状態から磁場を除き，点 上の導体を，ターンテーブルの上下に十分に長い棒状の導体に変更し，ターンテーブルと共に回るように固定した。この導体の質量および太さは無視できる。また，点 上の導体の代わりに一辺の長さが である導体で作られた正方形の枠を，ターンテーブルに垂直になるように線分 上で固定した。図 2(c) のように，点 上の導体の質量は であり，点 上の導体および上側と下側の導体の質量は無視できるものとする。また，正方形の導体の太さは無視でき，力を加えられたときにも正方形を保ち，倒れないものとする。正方形の導体には質量と大きさが無視できる電源により電流 が流れている。点 に固定した導体に，図 2(b) のように鉛直上向きに電流 を流すと，線分 上には 軸の正の向きに磁場が生じる。磁束密度の大きさは点 上で ［ニ］ であり，点 上で ［ホ］ である。ここで，電流 が作る磁場は無視してよい。
次に，電流 および が流れている状態で，図 2(a) で示すように正方形の導体を固定させたままターンテーブルを一定の角速度 で回転させた。このとき点 上と点 上に生じる磁束密度は，ターンテーブル上の観測者から見てそれぞれ ［ニ］ と ［ホ］ と同じであるとする。回転させた状態で，正方形の導体の固定を静かにはずしたところ，正方形の導体は線分 上から動かず，ターンテーブルとともに角速度 で回転し続けた。ターンテーブルの表面はなめらかである。このとき，正方形の導体に流れる電流の向きは {ヘ: (1)，(2)} である。また， の大きさは ［ト］ である。
(3) 図 3 のように，(2) の状態から点 上の導体を取り除き， 軸の正の向きに磁束密度 の一様な磁場を作り，再び線分 上の正方形の導体をターンテーブルに固定した。さらに，図 3(a) のように，線分 を 軸方向から微小な角度 [rad]（）だけ反時計回りに回した位置でターンテーブルを静止させた。正方形の導体に電流 を流すと，ターンテーブルは上から見て時計回りに動き始めた。このとき，正方形の導体には {チ: (1)，(2)} の向きに電流が流れており，正方形の導体の 4 辺のうち，点 上の導体には，［リ］ の大きさの力がはたらく。ここで，電流 は電源により時間変化しないように調整されている。
動き始めたターンテーブルは，ある角度だけ時計回りに動いたあと，反時計回りに動きだす。点 の 座標を変位 として表し，この運動を考える。 座標の原点を点 の位置にとり，図 3(a) のように 軸方向から微小角 だけ反時計回りに回した状態から動き始めた時刻を とする。点 上の導体にはたらく力の線分 に垂直な成分は，線分 と 軸のなす角が微小であるとき， 軸に平行と近似できる。つまり，この成分は，変位が のとき， 軸の方向を正として ［ヌ］ と書ける。 から線分 が 軸と初めて平行になる時刻までの間にこの力が導体に対してなす仕事の大きさは ［ル］ となる。また，ターンテーブルが初めて反時計回りに動き始める時刻を とすると， は ［ヲ］ と書ける。
問 1 図 4 を解答欄に描き写し，変位 と時刻 の関係を実線で描け。グラフには から までの変位 を描くこと。また，最大と最小の変位 の値とそれらの値を取る時刻および となる時刻も示すこと。時刻は を用いて表してよい。
(4) 図 5 のように，(3) の状態から電源が接続された部分を取り除き，電源がない導体に置き換えたのちに，ターンテーブルを一定の角速度 で反時計回りに回転させた。図 5(a) のように線分 が 軸に平行な状態の時刻を とし，任意の時刻 において正方形の導体に生じる電流を求める。点 上の導体が運動する速度の 軸成分の大きさは ［ワ］ である。この運動により正方形の導体には起電力が生じる。図 5(b) で示す破線の矢印の向きに電流が流れるときを正の起電力とすると，時刻 における起電力を と書くとき， は ［カ］ となる。正方形の導体の全体での抵抗値を とすると，時刻 において流れる電流は となる。
次に， からターンテーブルを一周させるまでの間に導体で発生するジュール熱を考える。時刻 における電力は，, , のうち必要なものを用いて，［ヨ］ と書ける。ここで， なので，ターンテーブルを一周させる間での電力の平均は ［ヨ］ となり，一周の間に導体で発生するジュール熱は，, , のうち必要なものを用いて ［タ］ と表される。
最後に，ターンテーブルを角速度 で回転させた状態から，回転させるために必要であった外力を静かに取り除いた。すると，ターンテーブルの角速度は {レ: (1) 増加した，(2) 変化しなかった，(3) 減少した}。
鉛直上向きの電流が 軸向きの磁場から受ける力は 軸の正の向きで、大きさは ［イ］ です。
ターンテーブルが回らないので、点 のまわりのモーメントがつり合っています。 と は をはさんで反対側にあるので、腕の向きが逆です。
だから 2 本の力が同じ向き、つまり 上の電流も鉛直上向きでなければモーメントは打ち消せません。{ロ} は上向きを表すほうです。
モーメントのつり合いは なので、［ハ］ です。遠いほうが小さい電流で足ります。
点 を貫く長い導体に流れる電流が作る磁場は、距離 のところで です。
点 は から なので ［ニ］、点 は から なので ［ホ］ です。
離れるほど弱くなります。この差がこのあとの向心力を生みます。
正方形の枠は、点 上と点 上の 2 本の鉛直な辺を持ちます。磁場は 向きなので、鉛直な辺にはたらく力は 向き、つまり に沿った向きです。
2 本の電流は互いに逆向きなので、力も逆向きです。 上のほうが磁場が強いので、 上の辺にはたらく力が勝ちます。
質量 は 上の辺にあるので、必要な向心力は です。内向きにするには、 上の辺の力が内向き、つまり 上の辺の電流が下向きになる向きに流れていなければなりません。{ヘ} はその向きです。
を解いて、［ト］ です。
一様な磁場に戻します。 上の辺にはたらく力の大きさは ［リ］ で、向きは電流の向きで決まり、 が回っても 軸に平行なままです。
上から見て時計回りに動き出すためには、この力が の正の向きでなければなりません。そうなるのは 上の辺を下向きに電流が流れるときで、{チ} は (2) と同じ向きです。
力は向きが変わらないので、 に垂直な成分だけが回転に効きます。 と 軸のなす角を とすると、その成分は で、 なので ［ヌ］ です。
変位に比例して逆向きに戻す力なので、単振動になります。仕事は で、大きさは ［ル］ です。
運動方程式は なので角振動数は です。反対の端に届くのが半周期なので、［ヲ］ です。
で変位が 、速さが から始まる単振動なので、 です。
最大の は と 、最小の は です。 になるのは と です。
半周期ごとに向きが変わります。 が「初めて反時計回りに動き始める時刻」なのは、そこが折り返し点だからです。
点 は半径 の円を角速度 で回るので、速さは です。その 成分の大きさは ［ワ］ に を掛けたものになります。
枠を貫く磁束は です。時間で微分すると起電力になり、［カ］ です。
電力は なので ［ヨ］ です。平均はその半分で、一周にかかる時間 を掛けると ［タ］ です。
このジュール熱はどこかから出ています。外力を外せば、出どころは回転の運動エネルギーしかありません。よって {レ} は「減少した」です。