図 1-1 のように，3 個のおもりと 3 本の棒を互いに固定した物体の運動を考える。ただし，図 1-2 のように，おもり に対して 2 本の棒はなめらかに回転できる。はじめ物体は，図 1-1 のように，おもり とおもり が水平な床に接するように置かれており，おもり はおもり の真上にある。おもり には水平に張られた糸がつながれており，糸を図の右方向に引く力の大きさを とする。3 個のおもりの質量はいずれも であり，棒と糸の質量は考えなくてよい。おもり からおもり までの距離，およびおもり からおもり までの距離はいずれも であり，おもりの大きさは考えなくてよい。また，重力加速度の大きさを とする。
I まず，おもり が床に固定されている場合を考える。
(1) 図 1-1 の状態において， を徐々に大きくしていったところ， がある大きさに達したときにおもり が床から離れた。このときの を求めよ。
(2) 糸を引き続けて，図 1-2 のように物体を傾けていくことを考える。おもり が床から離れてから糸を引く力がした仕事の大きさを とする。 がある大きさ を超えると，物体は倒れて，おもり は床に衝突する。 を求めよ。
II 次に，おもり が床に固定されていない場合を考える。図 1-1 のようにおもり とおもり は床に接している。おもり と床との間の静止摩擦係数は であり，おもり と床との間には摩擦はない。
(1) が小さく，物体が静止しているとき，おもり が床から受ける垂直抗力の大きさを， を含む式で表せ。
(2) 前問 II(1) のとき，おもり が床から受ける垂直抗力の大きさを， を含む式で表せ。
(3) を徐々に大きくしていったところ， がある大きさに達したときに，おもり が床に接したまま物体が右に動き始めた。このときの を求めよ。
III 最後に，おもり とおもり が床に接したまま，物体が右に動いている場合を考える。おもり と床との間の動摩擦係数は であり，おもり と床との間には摩擦はない。
(1) 図 1-3 のように，物体が等速直線運動をしているときの を求めよ。
(2) 糸を引くのをやめて にすると，物体は等加速度で減速する。このとき，図 1-4 に示すように，加速度は速度と逆向きであり，その大きさを とする。おもり が床から受ける垂直抗力の大きさを， を含む式で表せ。
(3) 前問 III(2) の を求めよ。
おもりは 3 個とも質量 です。 と が床に接し、 は の真上にあります。 も も なので、骨組みは を直角とする直角二等辺三角形です。
棒は のところでなめらかに回れます。ただし 3 本が三角形に閉じているので、 と と棒はひとかたまりのまま、 を軸にして回ります。形は変わりません。
につないだ糸を右へ引く力が です。図では を大きくしていきます。 が床から浮き、そのあと骨組みが のまわりに傾いていきます。
棒と糸に質量はありません。出てくる力は、3 個の重力と、糸の と、床が と に返す力だけです。
が床に固定されているので、 を軸に選べば、軸が返す力はモーメントの式に出てきません。効くのは と にはたらく力だけです。
の重力は の真上を向いて落ちるので、腕が でモーメントを持ちません。糸の は腕が 、 の重力と垂直抗力も腕が です。
つり合いは で、 となります。引くほど床が を押す力が減っていきます。
になるのが です。これが I(1) の答えです。
が浮いたあとは、骨組みが のまわりに傾いていきます。傾いた角を とすると、 の高さは 、 の高さは です。
位置エネルギーは です。 で 、そこから増えて で の山になり、そのあとは下りになります。
山を越えれば重力が仕事をして勝手に倒れます。倒れるかどうかは、山の上まで持ち上げられるかどうかだけで決まります。
糸のした仕事は、山の上までなら位置エネルギーの増えた分そのものです。 が I(2) の答えです。
で が床に着きます。山の向こう側は下り一方なので、途中で止まることはありません。
の固定を外します。それでも と と棒のかたまりについて のまわりのモーメントを取れば、 が棒に返す力は腕が で、式に出てきません。
出てくる力も腕も前の場面と同じです。よって がそのまま成り立ちます。これが II(1) の答えです。
の垂直抗力は、3 個をまとめた縦のつり合いから出ます。 は水平なので縦には効かず、 です。
となります。引くほど が軽くなり、その分だけ が重くなります。
水平に効くのは、糸の と にはたらく摩擦だけです。 と床のあいだに摩擦はありません。
の最大摩擦力は です。 を大きくすると も増えるので、押さえつける側も に連れて強くなります。
滑り出すのは のときで、 が II(3) の答えです。
ただしこれは が床に接したままの話です。 を解くと になります。
問題文の は、浮くより先に滑るという断りでした。 がこれより大きければ、 が浮くほうが先に起きます。
等速直線運動なので、力もモーメントもつり合っています。静止しているときと式は変わらず、係数が動摩擦の になるだけです。
と から、 が III(1) の答えです。
形は II(3) と同じです。止まっているものを動かし始める力と、動いているものを等速に保つ力が、係数だけ違う同じ式になります。
糸を放して にすると、残るのは摩擦だけで、物体は減速します。加速度は速度と逆の左向きで、大きさが です。
物体といっしょに動く目で見ると、おもり 1 個ずつに右向きの慣性力 がはたらきます。向きは、さっきまで糸が引いていた向きと同じです。
のまわりのモーメントを取ります。 の慣性力は床の高さにあって腕が 、 の慣性力は腕が です。効くのは の側だけです。
から です。 のところが に置き換わっただけの式になりました。これが III(2) の答えです。
縦のつり合いは のままです。 を入れると となります。
横は運動方程式です。水平な力は動摩擦力 だけなので、 です。
解いて が III(3) の答えです。
なら なので、 は正のままです。 が床に接したまま、という前提とつじつまが合っています。