運動する台車とピストンつき容器の中の単原子分子理想気体に関する以下の設問に答えよ。ただし，断熱変化において気体の圧力 と体積 についてポアソンの法則「 一定」が成り立つことを用いてよい。気体定数を とする。台車と床との摩擦，およびピストンの質量は無視できる。ピストンつき容器の外側は真空である。台車の速度は右向きを正とする。
I 図 3-1 のように，なめらかに動くピストンつきの断熱容器が水平な床に固定されており，この容器に 1 モルの単原子分子理想気体が封入されている。はじめ，容器内の気体の体積は ，温度は であり，ピストンはストッパーの位置で静止している。このピストンに向かって質量 の台車を速度 で運動させる。
この台車がピストンに接した時刻を とする。時刻 の後，台車はピストンを押し込み，気体の体積が ，温度が となったところで速度が となった。この時刻を とする。その後，台車はピストンに押し返されて，気体の体積が に戻った時刻 でピストンから離れた。
(1) 時刻 における台車の運動エネルギー と容器内の気体の内部エネルギー を , , , , のうち必要なものを用いてそれぞれ表せ。
(2) と の比 を と のみを用いて表せ。
(3) と の比 を と のみを用いて表せ。
(4) 時刻 と台車の速度 との関係を表すグラフとして最も適切なものを図 3-2 の (1) 〜 (9) の中から選び，その理由も述べよ。
II 図 3-3 のように，なめらかに動くピストンつきの断熱容器が水平な床に固定されている。容器の中央を固定壁で仕切り，左右の領域にそれぞれ 1 モルの単原子分子理想気体を封入した。はじめ，左右の領域内の気体はどちらも体積が ，温度が であり，ピストンはストッパーの位置で静止している。設問 I と同様に，このピストンに向かって質量 の台車を速度 で運動させる。
台車が時刻 でピストンに接したのち，速度が となった時刻を とする。このとき左の領域の気体の温度は になった。この時刻 で台車の位置を固定し，そのまま充分長い時間待ったところ，固定壁を通じた熱の移動により左右の領域の気体の温度はどちらも になった。こののち，時刻 で台車の固定を解除したところ，台車はピストンに押されて左向きに動き始め，左側の領域の気体の体積が に戻った時刻 でピストンから離れた。このときの台車の速度を とする。
ピストンが動いていた時間 と は充分短く，この間の固定壁を通じての熱の移動は無視できる。
(1) 台車がピストンから離れた時刻 における左右の領域の気体の温度はそれぞれ , であった。 以降の時刻における台車の運動エネルギー を , , のうち必要なものを用いて表せ。
(2) 気体の温度 , , , の間に成り立つ大小関係を □ □ □ の形で書け。ただし，, , , にはそれぞれどの温度かを指定する数字（, , , ）のいずれかがひとつずつ入り，各 □ には （等号）または （不等号）が入る。
(3) と の大きさの比を とする。時刻 における台車の運動エネルギー と左側の領域の気体の内部エネルギー のみを用いて を表せ。
台車の運動エネルギーは です。単原子分子理想気体 1 モルの内部エネルギーは です。これが I(1) の答えです。
容器の外は真空、ピストンに質量はなく、床との摩擦もありません。だから台車の失った運動エネルギーは、どこへも逃げずに気体へ入ります。
で台車の速さは なので、 がすべて内部エネルギーになっています。 です。
内部エネルギーは温度に比例するので、 が I(2) の答えです。
温度が決まれば体積も決まります。 が一定で、状態方程式 を使って を消すと、 が一定になります。
よって で、 です。
前の場面の を入れて、 が I(3) の答えです。
台車が速いほど、あるいは気体が冷たいほど、 が大きくなって深く押し込まれます。
まず終わりの速さです。この押し込みと押し返しは、断熱で、しかもゆっくり進む向きの決まった変化なので、行きと帰りで同じ道を戻ります。気体が受け取った はそのまま返され、 での速さは 、向きだけが逆です。
次に途中の形です。台車が受ける力は気体の圧力とピストンの面積の積で、押し込むほど圧力が上がります。だから加速度の大きさは で最も小さく、いちばん縮んだ で最大になり、 でまた小さくなります。
速度は からゆるやかに減りはじめ、 で最も急になり、 へゆるやかに近づきます。傾きが真ん中で最大の 字です。
両端で に届き、傾きが で最大になっているのは (3) だけです。これが I(4) の答えです。
容器を固定壁で 2 つに分け、左右に同じ気体を入れます。台車が押すのは左の気体だけで、右の気体は体積が変わりません。
から までは、左の気体だけが から へ断熱で膨らみ、その仕事が台車を押し返します。右の気体は体積が変わらないので、仕事もしません。
この間の熱の移動は無視できるので、左の気体が失った内部エネルギーがそのまま台車の運動エネルギーになります。
が II(1) の答えです。
押し込んだ直後の左は 、右は です。 は前の場面のとおりです。
台車を止めて待つあいだ、どちらの体積も変わらないので仕事はありません。内部エネルギーの和が保たれ、 になります。だから です。
そのあと左の気体は から へ断熱で膨らみます。 が一定なので、 です。
なので です。押して戻したのに、はじめより冷たくなっています。並べると で、これが II(2) の答えです。
です。 と書き直します。
、、 を入れると、 となります。
よって が II(3) の答えです。
が に比べて小さいほど は に近づき、大きくすると に近づきます。どれだけ強く押しても、返ってくる運動エネルギーが半分を下回ることはありません。