次の文章を読んで，［ ］に適した式または数値を，{ } からは適切なものを一つ選びその番号を，それぞれの解答欄に記入せよ。なお，［ ］はすでに［ ］で与えられたものと同じものを表す。また，問 1 〜 問 3 では，指示にしたがって，解答をそれぞれの解答欄に記入せよ。ただし，気体定数を ，単原子分子理想気体の定積モル比熱を ，重力加速度の大きさを とする。
図 1 のように，断面積が で水平な可動壁を持つ固定された容器の中に， モルの単原子分子理想気体が入っている。質量が で厚さ の可動壁は，容器内にある上下のストッパーの間を滑らかに動く。上部に設置されたストッパーから測った可動壁上面までの距離を とする。可動壁が動き得る範囲は， であり，容器上面から上部ストッパーの間の長さは， である。可動壁を含め，容器の壁は全て断熱材でできており，容器内部には温度調節器が備えられている。温度調節器，ストッパー，容器の壁の厚さや体積は無視できるものとする。また，容器内の気体への重力の影響は無視できるものとする。
(1) 図 1 では，容器が気圧 の大気圧中にある。温度調節器によって容器内の気体の温度を に設定したとき，可動壁は， の範囲にあった。容器内の気体の圧力は気体の状態方程式を用いると，, , , , , を用いて，［あ］ と与えられる。 は，力のつり合いから，［い］ となる。さらに温度をゆっくりと上昇させると，可動壁は，温度 で に達した。温度を上昇させる際に，気体が吸収する熱量は，, , , , を用いると，［う］ となり，気体が外部にする仕事は，, , , , , , , を用いて，［え］ と求められる。
問 1 に達する温度 になった直後に，温度調節器のスイッチを切って，可動壁を鉛直上向きにゆっくりと押し上げる仕事により， とした。この過程では，[温度] [体積]（ は 1 より大きい定数）が一定になることが知られている。この過程で気体が外部からされる仕事を , , , , , を用いて求めよ。その導出過程も書くこと。
(2) 次に，密度 の液体中に，容器上面と可動壁の水平を保ったまま，容器を図 2 のように固定した。液体の量は調節が可能であり，液面の位置を変化させることができる。液面は，上部ストッパーの位置から容器の上面の間に位置し，上部ストッパーから液面までの距離を とおくと， の範囲にあるようにする。大気圧は である。なお，容器下部には液体が通過する穴が空いており，可動壁が動いても液面の位置は変わらないものとする。
液面の位置，および可動壁の位置がそれぞれ , であるとき，液体が可動壁におよぼす圧力は，［お］ である。
可動壁の位置を固定して考えたとき，液体が可動壁におよぼす圧力が最も小さくなる液面の位置は， である。液面の位置を に設定しても，温度（正の絶対温度）を調節することにより，可動壁が上部ストッパーに行きつくことを可能にするためには，可動壁の質量を， ［か］ にする必要がある。この条件が満たされれば，任意の に対して，温度を調節することによって可動壁を の間で移動させることができる。
以下，条件 ［か］ が満たされているものとする。液面の位置を に設定し，温度調節器で温度を調節したところ，可動壁は， の範囲にあった。このことから，容器内の温度は， ［き］ より高く， ［く］ より低いことがわかる。容器内の温度を保ったまま液面を にゆっくりと変化させると，可動壁は下降する。さらに で，温度を ［け］ 以下にすれば，可動壁は まで上昇する。
(3) 図 2 で，可動壁の質量が を満たすとき，以下の 4 つの過程からなるサイクルを考えてみよう。ただし， と はこの条件のもとでの ［き］ と ［く］ の値である。
［過程 I］ 液面位置を に固定する。最初，容器内の温度を ，可動壁の位置を に設定し，それから容器内の温度をゆっくりと から まで上昇させる。この過程で可動壁の位置は から に移動した。
［過程 II］ 温度を に固定して，液面位置をゆっくりと から に変化させる。その後，容器内の温度を からゆっくりと まで下降させる。この過程では，可動壁の位置は変わらず， のままであった。なお，温度を よりも低くすると，可動壁の位置は に移動する。
［過程 III］ 液面位置を に固定し，温度を からさらに下降させて， とすると，可動壁の位置は に達した。
［過程 IV］ 温度を に固定して，液面位置を から にゆっくりと変化させる。その後，容器内の温度を からゆっくりと に変化させる。
問 2 図 3 を解答欄に描き写し，このサイクルにおける容器内の気体の圧力 と可動壁の位置 の関係をグラフに示せ。各過程がどの線上に位置するかを書き込み，状態変化の向きを示す矢印も記入せよ。また，過程 I での始点と終点の圧力をそれぞれ , とし，過程 III での始点と終点の圧力をそれぞれ , としたとき，それらの値を , , を用いて記せ。
過程 I，II，III，IV で気体が外部にする仕事をそれぞれ , , , とおき，これらを , , , のうち必要なものを用いて表すと， ［こ］， ［さ］， ［し］， ［す］ と求まる。また，吸熱する過程は，{せ: (1) 過程 I，(2) 過程 II，(3) 過程 III，(4) 過程 IV，(5) 過程 I と過程 II，(6) 過程 I と過程 III，(7) 過程 I と過程 IV，(8) 過程 II と過程 III，(9) 過程 II と過程 IV，(10) 過程 III と過程 IV} である。
問 3 吸熱する過程での全吸熱量と気体が外部にする正味の仕事を求め，また，このサイクルの熱効率を求めよ。
気体は可動壁の上にあり、高さは です。状態方程式から ［あ］ です。
可動壁には、上から気体の圧力、下から大気圧、そして重力がかかります。つり合いは なので、圧力は に決まります。壁が動ける間はずっとこの値です。
2 つを等しいと置いて ［い］ です。温度に比例して壁が下がっていきます。
圧力が変わらないので定圧変化です。吸収する熱量は ［う］、外部にする仕事は ［え］ です。 で になるので、これは と同じものです。
温度調節器を切ったので断熱変化です。可動壁を押し上げると気体は縮み、体積は から になります。
が一定なので、 です。温度は上がります。
定積モル比熱は と書けるので、内部エネルギーの増加は です。断熱なので、これがそのまま外部からされる仕事です。
を入れて、答えは です。
液面は上部ストッパーより だけ上にあります。可動壁の下面は上部ストッパーより だけ下なので、液面からの深さは です。
よって ［お］ です。 を小さくするほど浅くなるので、 で最も小さくなります。問題文の断りと合っています。
可動壁が上部ストッパーまで上がるには、気体の圧力がその位置でのつり合いを満たせなければなりません。、 でのつり合いは です。
温度は正なので圧力も正でなければなりません。 から ［か］ です。壁が重すぎると、どんなに温めても上がりきりません。
液面を にすると、つり合いの圧力は です。これに状態方程式を合わせると、 になります。
右辺は について増える一方なので、 が下限、 が上限になります。［き］、［く］ です。
温度を保ったまま液面を下げると、可動壁を押し上げる液体の力が弱くなるので、壁は下がります。
では です。 とおいて ［け］ です。ここまで冷やせば壁は上まで戻ります。
という条件を入れると、つり合いの圧力は簡単になります。 のとき 、 のとき です。
過程 I は の直線を から へ進むので、 から です。
過程 II は のまま。体積が変わらないので、液面を下げても圧力は動きません。温度を下げるところで圧力だけが下がり、下のストッパーから離れる直前が です。
過程 III は の直線を から へ戻るので、 に着きます。過程 IV は のまま圧力が へ戻ります。
2 本の斜めの直線は傾きがどちらも で平行、2 本の縦線も平行です。- 図は平行四辺形になります。
仕事は - 図の面積です。過程 I は で ［こ］、過程 III は逆向きに ［し］ です。体積が変わらない過程 II と IV は ［さ］ ［す］ です。
吸熱かどうかは、内部エネルギーの変化と仕事の和で決まります。内部エネルギーは なので、 と から直に計算できます。
過程 I は の吸熱、過程 IV は の吸熱です。過程 II と III はどちらも放熱でした。よって {せ} は「過程 I と過程 IV」です。
全吸熱量は 、正味の仕事は です。
熱効率は です。これが問 3 の答えです。平行四辺形の面積が正味の仕事で、そのぶんだけが取り出せます。