放射状の磁場と干渉計で質量を測る装置（2023 年 東京大学 物理 第 2 問・電磁誘導と量子ホール効果）

質量を精密に測定する装置について考えよう。

I 図 2-1 のように，滑らかに回転する軽い滑車に，半径 ，質量 の円盤が，質量の無視できる糸と吊り具で水平につり下げられている。円盤の側面には導線が水平方向に 回巻かれている。導線の巻き方向は，上から見たときに端子 を始点として時計回りである。滑車の反対側には質量 のおもりがつり下げられている。円盤の厚さは十分に小さいものとする。

円盤の上下には図 2-2 のように，二つの円形の永久磁石が 極同士が向かい合うように壁に固定する。鉛直方向下向きに 軸をとり，二つの磁石の中間点を とする。円盤は，はじめ に配置されており，水平を保ちながら 方向にのみ運動する。円盤が動く範囲では，図 2-3 のように円盤の半径方向を向いた放射状の磁場が永久磁石により作られ，導線の位置での磁束密度の大きさは一定の値 である。この磁場は円盤に巻かれた導線のみに作用するものとする。

この装置は真空中に置かれている。重力加速度は ，真空中の光速は とする。円盤が動く速さは よりも十分に小さい。糸の伸縮はない。導線の質量，太さ，抵抗，自己インダクタンスは無視する。また，円盤に巻かれていない部分の導線は，円盤の運動に影響しない。以下の設問に答えよ。

(1) おもりを鉛直方向に動かすことで，円盤を 軸正の向きに一定の速さ で動かした。端子 を基準とした端子 の電位 を，, , , を用いて表せ。

図 2-4 のように，円盤の位置を精密に測定し電気信号に変換するため，この装置にはレーザー干渉計が組み込まれている。レーザー光源を出た周波数 の光は，ハーフミラーで一部が反射し，一部は透過する。ハーフミラーで反射した光は円盤に取り付けた鏡 で反射し，ハーフミラーを透過した光は壁に固定された鏡 で反射する。, で反射した光は，ハーフミラーで重ね合わされ光検出器に向かう。光の経路は真空中にある。このとき，円盤の位置 が変化すると，検出される光の強さが干渉により変化する。光検出器からは，検出した光の強さに比例した電圧 が出力される。この電圧は， と を正の定数として と表すことができる。鏡 の質量は無視できる。

(2) と を用いて を表せ。

図 2-4 の回路に含まれる可変電源は，光検出器の出力電圧を入力すると，正の増幅率を として なる電圧を出力する。抵抗値 の抵抗に生じる電圧降下を，内部抵抗の十分大きな電圧計によって測定する。可変電源の出力電圧は， 端子を基準とした 端子の電位である。

いま，円盤の位置を に戻し，静止させた。スイッチを閉じると円盤は静止を続けた。次に，円盤の上に質量 の物体を静かに置くと，物体と円盤は一体となって鉛直下向きに運動を始めた。

(3) 円盤をつり下げている糸の張力を ，物体の速度を とする。一体となって運動する物体と円盤にはたらく力の合力を，, , , , , , , , , , , , のうち必要なものを用いて表せ。

が十分大きい値であったため，物体と円盤は一体のまま非常に小さな振幅で上下に運動し，時間とともにその振幅は減衰した。時間が経過してほぼ静止したと見なせるときの円盤の位置を ，電圧計の測定値の絶対値を とする。

(4) と を , , , , , , , , のうち必要なものを用いて表せ。ただし， が十分に小さいため，近似式 を用いてもよい。

(5) 設問 I(1) の結果とあわせて，物体の質量 を , , , , を用いて表せ。

II 質量 の測定に用いた抵抗の抵抗値 を精密に決めることを考えよう。

金属や半導体に電流を流し，その電流の向きと垂直に磁場をかけると，ホール効果によって電流と磁場に垂直な方向に電位差が生じる。このような電子部品をホール素子と呼ぶ。ホール効果のうち，量子ホール効果という特殊な場合には，生じた電位差と電流の比 の値は厳密に決まっており，抵抗値の基準となる。

を基準として未知の抵抗値 を測定するため，図 2-5 に示す回路を用いる。ホール素子には，紙面に垂直に裏から表に向かう磁場がかけられており， から の向きに電流 を流すと， を基準とした の電位は となる。 を基準とした の電位 を内部抵抗の十分大きな電圧計で測定し，正の大きな増幅率 をもつ可変電源に入力する。可変電源は電圧 を出力し，抵抗値 の抵抗に接続されている。ホール素子は， と の間に有限の抵抗値をもつ。可変電源の出力電圧は， 端子を基準とした 端子の電位である。

ソレノイド 1，2，3 は比透磁率 1 の一つの円筒に巻かれており，単位長さあたりの巻数はそれぞれ , , である。ソレノイド 2 と 3 は同じ向きに，ソレノイド 1 はそれらとは逆向きに巻かれている。電源 1，電源 2，可変電源から流れる電流をそれぞれ , , とし，それぞれがソレノイド 1，2，3 に流れている。 と は電源に内蔵された電流計で測定している。ソレノイドの導線の抵抗は無視できる。以下の設問に答えよ。

(1) を基準とした の電位 とソレノイド内部の磁場 の大きさを，, , , , , , , のうち必要なものを用いてそれぞれ表せ。

(2) 以下の記述について，［ア］ と ［イ］ にあてはまる式を，, , , , , , のうち必要なものを用いて表せ。

磁気センサーでソレノイド内部の磁場 を測定し， となるように電源 1 の電圧により を調整した。このとき， ［ア］ ［イ］ と表すことができる。増幅率 が大きいので，近似式 （［ア］） が得られる。

ソレノイドの巻数をうまく選ぶことで，電流の測定誤差に比べて抵抗値 の測定誤差を相対的に小さくすることができる。量子ホール効果での は，物理定数であるプランク定数 ，電気素量 と自然数 を用いて と表せる。ここでは，， kΩ の素子を用いる。いま，測定したい抵抗値 は 100 Ω 程度であることが測定前にわかっている。測定誤差を小さくするために， が と近い値となり， が小さくなるように巻数の比を選び， とした。

(3) 電流 と の測定値と真の値，および抵抗値 の真の値を表 2-1 に示す。電流の相対誤差は 10 % 程度である。, の測定値と設問 II(2) で得た近似式から，抵抗値 の測定値を有効数字 3 桁で求めよ。また，この抵抗測定の相対誤差は何 % か，有効数字 1 桁で答えよ。

表 2-1 は次のとおりである。 の測定値は 540 μA，真の値は 600 μA。 の測定値は 400 μA，真の値は 350 μA。 の真の値は 106 Ω。