以下のような仮想的な不安定原子核 を考える。 の質量は ，電気量は正の値 である。 の半減期は で，図 1-1 に示すように自発的に二つの原子核 と に分裂する。 の質量は ， の質量は である。分裂の際の質量欠損は であるが，これは と比べて十分小さいので， の質量は と の質量の和で近似されている。分裂後の電気量は も も共に である。これらの原子核の運動について考えよう。
ただし，原子核は真空中を運動しており，重力は無視できる。原子核の速さは真空中の光速 に比べて十分遅い。原子核は質点として扱い，量子的な波動性は無視できる。個々の原子核は以下の問題文で与えられる電場や磁場による力だけを受け，他の原子核が作る電場や電流に伴う力は無視できる。加速度運動に伴う電磁波放射も無視できる。
I 多数の原子核 を作り，それらが分裂する前に，特定の運動エネルギーをもつものだけを集めることを考える。図 1-2 のように，座標原点にある標的素材に中性子線ビームを照射し，核反応を起こすことで，多数の が作られる。これらの は の領域に様々な速さで，様々な方向に飛び出す。 の領域に紙面に垂直に裏から表の向きに磁束密度 の一様な磁場をかける。 軸に沿って紙面に垂直な壁を設け， 軸上に原点から距離 だけ離れた位置に小窓を開ける。壁に衝突することなく，壁面に垂直に小窓を通過する原子核だけを集める。以下の設問に答えよ。ただし，標的素材や小窓の大きさは長さ と比べて十分小さい。
(1) 小窓から集められる個々の の運動エネルギーを , , , を用いて表せ。
(2) が分裂する前に，なるべく効率よく を集めたい。原点で生成され，小窓を通る軌道に入った のうち，分裂前に小窓を通過する割合が 以上になるために必要な磁束密度 の下限値を , , , , の中から必要なものを用いて表せ。ここで収集された は十分多数で， とする。
(3) 集めた を電場で減速させ，静止させた。図 1-1 のように，この後， は分裂する。分裂の際に， と 以外の粒子や放射線は放出されず，質量欠損に対応するエネルギーが と の運動エネルギーとなる。このときの と のそれぞれの速さ および を , , を用いて表せ。
II 次に，図 1-3 に示す実験を考える。原子核 を座標原点に，初速 で次々と注入する。ここでは の領域だけに， 軸正の向きの一様な電場 がかけられており， は 軸に沿って加速していく。 には検出器があり，原子核の運動エネルギーと電気量，質量を測ることができる。電場 は， となるように調整されている。ここで は，設問 I(3) における の速さ（図 1-1 参照）であり，定数である。
の一部は検出器に入る前に様々な地点で分裂し， と を放つ。原子核の運動する面を 平面にとり，以下では紙面垂直方向の速度は とする。分裂時の と同じ速さで 軸に沿って運動する観測者の系を 静止系と呼ぶ。 静止系では，分裂直後に は速さ で全ての方向に等しい確率で飛び出す。 静止系での分裂直後の の速度ベクトルが， 軸となす角度を とする。このとき，分裂直後の 静止系での の 方向の速度は と表せる。以下の設問に答えよ。
(1) 図 1-3 にあるように， の分裂で生じた の中には，一度検出器から遠ざかる方向に飛んだ後，転回して検出器に入るものがある。このような軌道を転回軌道と呼ぶ。 が転回軌道をたどった上で，検出器に入射する条件を求めよう。以下の文の ［ア］ から ［カ］ に入る式を答えよ。以下の文中で指定された文字に加え，, の中から必要なものを用いよ。
分裂時の の検出器に対する速さを と表すと，分裂地点 の関数として ［ア］ と書ける。また，注入されてから まで移動する時間は， の代わりに を用いて，［イ］ と表せる。
転回軌道に入るためには， の初速度の 成分は負である必要があるので， に対して， で表せる条件， ［ウ］ が得られる。この条件から，そもそも後方に飛んだ場合 ［エ］ では転回軌道が実現しないことがわかる。 が後方に飛んだ場合， の領域に入ると，検出器に到達することはない。これを避けるための条件は， を用いて ［オ］ と表せる。 ［カ］ のときには， は によらず の領域に入ることはない。
(2) 検出器に入った のうち，検出器の 軸上の点で検出されたものだけに着目する。測定される運動エネルギーの取りうる範囲を , を用いて表せ。
(3) の注入を繰り返し，十分多数の が検出された。検出された のうち，運動エネルギーが よりも小さい原子核の数の割合は， の半減期 が と比べてはるかに短い場合と，逆にはるかに長い場合で，どちらが多くなると期待されるか，理由と共に答えよ。
磁場の中で原子核は円を描きます。半径は です。
小窓を壁に垂直に通るということは、そこでの速度が 軸向きだということです。速度に垂直なのが円の中心の向きなので、中心は小窓と同じ高さ、つまり 軸の上にあります。
中心が 軸上にあって、原点と小窓の両方を通る円は、この 2 点を直径の両端とするものだけです。よって半径は で、軌道は原点から小窓までの半円になります。
から です。運動エネルギーは で、これが I(1) の答えです。
円運動の周期は速さによらず です。小窓までは半周なので、かかる時間は です。
半減期 の原子核が時間 のあいだ分裂せずに残る割合は です。これが 以上であればよいので、 です。
を について解いて、下限値は です。これが I(2) の答えです。
磁束密度を強くすれば円が小さくなり、同じ半周でも時間が短くなります。 が答えに残らないのは、半周にかかる時間が半径によらないからです。
静止した が分かれるので、運動量の和は です。 から となります。軽いほうが 3 倍速く飛びます。
エネルギーは です。 を入れると右辺は になります。
よって 、 です。これが I(3) の答えです。
の加速度は です。初速 から まで加速すると なので、［ア］は です。
等加速度なので、時間は速さを加速度で割ったものです。［イ］は です。
分裂直後の の 方向の速度は です。これが負であればよいので、［ウ］は です。 は より小さくなれないので、、つまり ［エ］は です。
の加速度は で、 の 2 倍です。後ろへ進む距離は で、これが 以下であればよいことになります。
整理すると で、後ろ向きなので ［オ］は です。これが より小さければ によらず成り立つので、、［カ］は です。
方向には力がはたらかないので、 の 方向の速度は のままです。検出器の 軸上に着くには、この速度が でなければなりません。
つまり の 2 通りだけです。運動エネルギーは、分裂時の運動エネルギーに を足したもので、 となります。
前向き（）は で最大の を取り、 が に近づくと に近づきます。範囲は です。
後ろ向き（）は でなければ へ抜けてしまいます。この端で 、 で に近づき、範囲は です。
答えはこの 2 つの帯で、あいだの から までは空きます。
軸上に限らず一般の で計算すると、検出器での運動エネルギーは になります。
これが より小さくなるのは のときで、右辺が より大きい、つまり でなければ、そもそも起こりません。 は 、遅い分裂です。
半減期が よりはるかに短ければ、 は注入されてすぐに分裂してしまい、 は小さいものばかりになります。低いエネルギーの はほとんど出ません。
はるかに長ければ、分裂の時刻は飛行時間の全体にほぼ一様に散らばるので、遅い分裂の割合が増えます。よって半減期がはるかに長い場合のほうが多くなります。これが II(3) の答えです。