図 1-1 のように，十分に長いベルトをもつベルトコンベアをベルトと床とのなす角が となるように水平な床に固定する。ベルトのなす斜面に沿った 軸を斜面上向きが正になるようにとる。 軸は常に床に対して静止している。このベルト上の物体の運動を考える。物体 の質量は である。また，ベルトと物体 との間の静止摩擦係数は ，動摩擦係数は である。物体は 軸方向にのみ運動し，回転しないものとする。特に断りの無い限り，物体の座標や速度はこの 軸に対して定義する。重力加速度を とし，物体の大きさや空気抵抗は無視してよい。
I はじめに図 1-2 のように， とし，ベルトが静止しているときの物体 の運動を考える。 において物体 に初速度 を与えたところ，物体 は斜面に沿って上昇した後，再び に戻った。
(1) 物体 が最高点に到達したときの 座標を求めよ。
(2) 物体 が に戻ったときの速度を , , , , のうち必要なものを用いて表せ。
II 次に，図 1-3 のように とし，一定の速度 でベルトが動いているときの物体 の運動を考える。
(1) 時刻 に物体 を初速度 でベルトにおいたところ，物体 は斜面上向きに移動し始めた。物体 の速度を時刻 の関数として表せ。
(2) において物体 に初速度 を与えたところ，物体 は斜面に沿って下降した後，再び に戻った。物体 が に戻ったときの速度を求めよ。
III 図 1-4 のように とし，ばね定数 のばねでつながれた物体 と物体 をベルト上におく。物体 は物体 より常に高い位置にある。ベルトは一定の速度 で動いている。物体 の質量は で，物体 とベルトとの間に摩擦はない。ばねは均質であり，ばねの質量は無視できる。
ばねを自然長から長さ だけ伸ばした状態で，物体 および物体 を速度 でベルトにおいたところ，二つの物体は 軸に対して静止し続けた。
(1) を , , , , のうち必要なものを用いて表せ。
(2) を , , , , のうち必要なものを用いて表せ。
次に物体 の速度を から に瞬間的に変えた。この時刻を とする。物体 は時刻 にはじめてベルトと同じ速度になった。物体 および物体 の速度をそれぞれ および とする。
(3) 時刻 における物体 と物体 の重心 の速度 を , , , , , のうち必要なものを用いて表せ。
(4) 時刻 における物体 および物体 の運動は，重心 から見るとそれぞれ単振動とみなせる。このことを用いて における および を，それぞれ , , , , , のうち必要なものを用いて表せ。ここで，重心 から物体 および物体 までの距離がともに だけ減少すると，物体 がばねから受ける力は 変化することを用いてもよい。
時刻 以降，物体 はベルトに対して静止し続けた。
(5) 時刻 における を , , , , , のうち必要なものを用いて表せ。
(6) 物体 がベルトに対して静止し続けるために が満たすべき条件を，, , , , のうち必要なものを用いて表せ。
ベルトコンベアを角 で床に固定し、斜面に沿って 軸を取ります。上向きが正です。 軸は床に対して静止しているので、ベルトが動いても目盛りは動きません。
物体 の質量は 、ベルトとのあいだの静止摩擦係数が 、動摩擦係数が です。物体は 方向にしか動かず、回転もしません。
この問題で効くのは、物体とベルトの速度の差です。差の向きが動摩擦力の向きを決め、差が になると静止摩擦に変わります。設問ごとに角は 、、 と置き直されます。
ベルトは止まっています。 は から で上向きに出ます。ベルトから見た は上向きに動いているので、動摩擦力は下向きです。
重力の斜面成分も下向きです。2 つが同じ向きに効くので、上りの加速度は になります。
止まるまでに進む距離は です。これが最高点の 座標で、I(1) の答えです。
折り返すと、ベルトから見た の向きが逆になります。動摩擦力もそれに合わせて上向きへ変わります。
下りの加速度の大きさは で、上りより小さくなります。同じ距離を戻るので、戻ったときの速さは出ていったときより小さくなります。
最高点の 座標から、速度は です。下向きなので負号が付きます。
は残りません。摩擦も重力も質量に比例するので、加速度を作った時点で落ちます。問題文が「必要なもの」と断っているのは、こういう落ち方があるからです。
ベルトが で上向きに動いています。 を速度 で置くと、ベルトから見た は下向きに動いています。だから動摩擦力は上向きです。
問題文が「斜面上向きに移動し始めた」と言っているので です。加速度は で一定になります。
よって です。ただしこれは がベルトより遅いあいだだけの話です。
に届くのが で、そこから先は速度の差が になり、静止摩擦に変わってベルトといっしょに で動きます。答えはこの 2 段です。
今度は で下向きに出します。 なので、 の速度はこのあいだずっと より小さいままです。
つまりベルトから見た はいつも下向きで、動摩擦力は上向きのまま変わりません。向きが変わらないので、加速度も のままです。
加速度が一定なら、同じ場所へ戻ったときの速さは出ていったときと同じです。よって答えは で、向きは上向きです。
という断りは、摩擦の向きが最後まで変わらないことを保証するためのものでした。前の場面と違って、ここでは折り返しても摩擦は向きを変えません。
ばねでつないだ と を、ばねを 伸ばした状態で置くと、どちらも 軸に対して止まったままでした。
はベルトとのあいだに摩擦がありません。効くのは重力の成分 と、ばねが上へ引く だけです。つり合いから で、これが III(1) の答えです。
は止まっていますが、ベルトは で動いています。速度に差があるので、 にはたらくのは動摩擦力です。大きさは 、向きは上向きです。
には重力 と、ばねが下へ引く がかかります。つり合いは となり、 が III(2) の答えです。
の速度だけを から に変えます。 はまだ止まっているので、 にはたらく動摩擦力は上向きのままで、大きさも のままです。
2 つをまとめて 1 つの系と見ます。ばねは内側の力なので消えます。外から効くのは、重力の合計 が下向き、 の摩擦 が上向きで、ちょうど打ち消し合います。
よって重心は等速で動きます。 で 、 ですから、 です。時刻によらず一定で、これが III(3) の答えです。
重心が等速なので、重心といっしょに動く目で見れば、2 つは単振動をします。重心から 近づくとばねの力が 変わる、と問題文が言っているので、1 個あたりのばね定数は 、角振動数は です。
のばねの伸びは、さっきまでつり合っていた そのものです。つまり重心から見ると、2 つとも振動の中心にいて、速さが最大の状態から始まります。
重心から見た速度は です。重心の を足すと、、 となります。
がはじめて に届くのは 、つまり半周期です。 が答えで、そのとき になっています。
から先、 はベルトに乗ったまま で動きます。ばねの上の端が等速で動くだけになるので、揺れるのは だけです。
つり合いからのばねの伸びのずれを とすると、 は 、伸びのほうは です。まとめると が角振動数 の単振動になります。
つなぎ目の値を見ます。 で 、ばねの伸びはちょうど に戻っているので 、つまり加速度も です。 は谷から始まります。
よって が III(5) の答えです。 を入れれば だけの式になります。
から先、 は等速なので力がつり合っています。 にはたらく静止摩擦を とすると、 です。
を積分すると となり、振れ幅は です。
よって は を中心に、 だけ上下に振れます。いちばん大きいのは です。
これが最大摩擦力 を超えなければよいので、 が III(6) の答えです。 より確かに大きくなっています。