音波に関する以下の設問に答えよ。空気中の音速を とし，風の影響は無視せよ。
I 軸正負の方向に音波を発生する音源が，一定の速さ で 軸上を正の向きに運動している。音源の振動数は で一定である。時刻 に音源は の原点 を通過した。音源の大きさは無視できる。
図 3-1 のように， の点を とする。ただし， とする。時刻 に音源で発生した音波が点 に到達する時刻を とする。
(1) 時刻 に音源で発生した音波が点 に到達する時刻を , , , のうち必要なものを用いて表せ。
(2) 点 での音波の位相が だけ変化するために要する時間を , , , のうち必要なものを用いて表せ。
続いて，図 3-2 のように，反射板を点 に置く。音源から直接届く音波と反射板で反射されて届く音波の干渉によりうなりが生じる。
(3) 観測者が音源とともに運動する場合を考える。観測者と音源の距離は小さく，観測者は音源と同じ位置にいるとしてよい。音源が反射板に到達するまでの間に観測されるうなりの振動数（うなりの周期の逆数）を , , , のうち必要なものを用いて表せ。
(4) 観測者が の点 に静止している場合を考える。ある時刻にうなりが観測され始めた。うなりが観測され始める時刻と，観測されるうなりの振動数をそれぞれ , , , のうち必要なものを用いて表せ。ただし，音源が原点 を通過するとき，反射板で反射された音波は原点 に到達しているものとする。また，音源の運動は観測者に影響されることはなく，音波は音源や観測者に遮られない。
II 音源から出る音波の振動数が時刻 によって変化する場合を考える。音源は原点 に静止している。反射板は 軸上を運動できる。音源の大きさは無視できる。
音源から， の間だけ振動数が図 3-3 (A) や図 3-3 (B) のように時間変化する音波を発生させる。時刻 におけるそれぞれの振動数は， を正の定数として， と で与えられる。ただし， は と比べて十分大きいとする。
音源から直接届く音波と反射されて届く音波の干渉によるうなりを，音源のすぐ近くで観測する。観測を行う位置と音源の距離は十分小さく，無視できる。このうなりの観測を用いて，反射板の位置や速度を計測することを考える。なお，音源で発生する音波は，反射板で反射された後，音波の周期より十分長く よりも十分短い時間で，音源の位置に達するとする。
(1) 振動数が図 3-3 (A) のように時間変化する音波を音源から発生させる。図 3-4 のように反射板は位置 に静止している。ただし， である。このとき，うなりの振動数は であった。 を , , , のうち必要なものを用いて表せ。
に原点で出した音は、距離 を音速で進むので に へ着きます。
その のあいだに音源も進んでいます。位置は で、 までの残りは です。
その距離を音速で割ると かかります。 に足して、着く時刻は です。これが I(1) の答えです。
位相が 変わるのに要する時間は、 で聞く音波の周期そのものです。山が 1 つ来てから次の山が来るまでの時間を測ります。
音源は 1 周期 のあいだに だけ へ近づきます。だから次の山は、そのぶん短い距離を進めば届きます。
到達時刻の差は です。これが I(2) の答えで、逆数を取れば で聞く振動数 になります。
観測者は音源と同じところにいるので、直接届く音との相対運動はありません。直接音は のままです。
反射板が受け取るのは、近づいてくる音源からの音です。振動数は で、反射板は静止しているのでそのまま送り返します。
観測者はその音へ速さ で近づくので、聞こえる振動数は です。
うなりの振動数は 2 つの差で、 です。これが I(3) の答えです。
観測者は に止まっています。反射音のほうは、音源が反射板へ近づき続けるかぎり のままです。反射板も観測者も動きません。
直接音のほうは、音源が より左にいるあいだは近づいてくるので です。反射音とまったく同じ振動数なので、うなりは起きません。
音源が を通り過ぎると、直接音は遠ざかる側に変わって になります。ここではじめて 2 つの振動数が違い、うなりが始まります。
始まる時刻は音源が に来る時刻で、 です。問題文が「原点を通るとき反射音はもう原点に届いている」と断っているので、反射音を待つ必要はありません。
うなりの振動数は です。これが I(4) の答えです。
ここからは音源が止まり、代わりに振動数が時間とともに変わります。(A) は で、 から へまっすぐ下がります。
いま聞こえている直接音は、たったいま出た音です。いま聞こえている反射音は、往復にかかった時間だけ前に出た音です。
往復の時間は音波の周期より十分長いので、2 つの振動数の差はきちんと数えられるうなりになります。同時に より十分短いので、その間に傾きが変わることもありません。
反射板までの距離を とすると、往復にかかる時間は です。
時刻 に聞こえる直接音の振動数は 、反射音は だけ前に出た音なので です。
差を取ると で、 が消えます。傾きが一定だから、うなりの振動数も一定になります。
を解いて、 が II(1) の答えです。
うなりを数えるだけで距離が分かります。振動数を時間で振っておいて、返ってきた音との差から距離を出す、という測り方そのものです。