ハミルトンの正準方程式（解析力学）

前回の記事でハミルトニアン $H(q,p,t)$ を導入し、正準方程式の形を示しました。この記事では正準方程式の導出過程を丁寧にたどり、具体的な問題への適用を通じてその威力を実感していきます。

正準方程式の導出

ハミルトニアンは $H(q,p,t)=p\dot{q}-L(q,\dot{q},t)$ で定義されました。この両辺の全微分を比較することで、正準方程式が自然に導かれます。

まず $H$ の全微分を書き下します。

$$dH=\frac{\partial H}{\partial q}dq+\frac{\partial H}{\partial p}dp+\frac{\partial H}{\partial t}dt$$

一方、定義式 $H=p\dot{q}-L$ の右辺を全微分すると次のようになります。

$$dH=\dot{q}dp+pd\dot{q}-\frac{\partial L}{\partial q}dq-\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}d\dot{q}-\frac{\partial L}{\partial t}dt$$

ここで $p=\partial L/\partial \dot{q}$ の定義により、$pd\dot{q}$ と $(\partial L/\partial \dot{q})d\dot{q}$ が相殺します。さらにオイラー＝ラグランジュ方程式から $\partial L/\partial q=\dot{p}$ を使うと、式は次のように簡潔になります。

$$dH=\dot{q}dp-\dot{p}dq-\frac{\partial L}{\partial t}dt$$

両者の $dq$、$dp$、$dt$ の係数を比較すれば、ハミルトンの正準方程式が得られます。

$$\dot{q}=\frac{\partial H}{\partial p},\dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial q}$$

方程式の本数は倍になりましたが、すべて 1 階です。この構造上の違いが、ハミルトン力学に独自の数学的豊かさをもたらしています。

位相空間での軌跡

正準方程式が 1 階の連立方程式であることの最大の利点は、運動を位相空間（$q$-$p$ 平面）上の 1 本の曲線として可視化できることです。

調和振動子のハミルトニアン $H=p^2/(2m)+k{x}^2/2$ を例にとりましょう。エネルギーが保存されるため、位相空間での軌跡は $H=E$（一定）を満たす曲線上に拘束されます。

$$\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}k{x}^2=E$$

これは $x$-$p$ 平面上の楕円の方程式です。振動子は位相空間をぐるぐると楕円軌道に沿って周回し続けます。ニュートン力学では $x(t)$ の時間変化だけを追いかけますが、ハミルトン力学では $(x,p)$ の組として運動の全体像を一望できるわけです。エネルギーの異なる軌道は大きさの異なる楕円として入れ子状に並び、位相空間全体にベクトル場の「流れ」が定義されます。この流れの描像が、後に登場するリュービルの定理の直感的な理解を助けてくれます。

具体例 1：中心力問題

惑星の運動やクーロン力の問題など、中心力のもとでの 2 次元運動を極座標 $(r,\theta )$ で記述してみましょう。ラグランジアンは次の形になります。

$$L=\frac{1}{2}m({\dot{r}}^2+r^2{\dot{\theta }}^2)-V(r)$$

一般化運動量はそれぞれ $p_r=m\dot{r}$、$p_{\theta }=m{r}^2\dot{\theta }$ です。$\dot{r}$ と $\dot{\theta }$ を運動量で書き換えてハミルトニアンを構成すると、次の結果が得られます。

$$H=\frac{p_r^2}{2m}+\frac{p_{\theta }^2}{2m{r}^2}+V(r)$$

正準方程式を書き下しましょう。$r$ と $p_r$ について、

$$\dot{r}=\frac{\partial H}{\partial p_r}=\frac{p_r}{m},{\dot{p}}_r=-\frac{\partial H}{\partial r}=\frac{p_{\theta }^2}{m{r}^3}-V^{\prime }(r)$$

$\theta$ と $p_{\theta }$ について、

$$\dot{\theta }=\frac{\partial H}{\partial p_{\theta }}=\frac{p_{\theta }}{m{r}^2},{\dot{p}}_{\theta }=-\frac{\partial H}{\partial \theta }=0$$

${\dot{p}}_{\theta }=0$ という結果は、$p_{\theta }$（角運動量）が保存することを意味しています。ハミルトニアンが $\theta$ を含まないことから、偏微分が直ちにゼロになるわけです。保存則がこれほど明快に読み取れるのは、正準方程式の大きな強みといえます。

循環座標と保存則

前節の $\theta$ のように、ハミルトニアンに陽に現れない座標を循環座標（または無視座標）と呼びます。座標 $q_i$ が循環座標であるとき、正準方程式から直ちに次のことがわかります。

$$\frac{\partial H}{\partial q_i}=0⟹{\dot{p}}_i=0⟹p_i=\text{const}$$

つまり、循環座標に共役な運動量は保存量です。この対応関係はラグランジュ力学でも成立しますが、正準方程式ではより見通しよく表現されます。

対称性と保存則のつながりはネーターの定理として知られていますが、ハミルトン形式ではそれが「偏微分がゼロ」という極めて単純な形で実現されています。

具体例 2：荷電粒子の運動

一様磁場 $\mathbf{B}=(0,0,B)$ 中の荷電粒子の運動は、ニュートン力学ではローレンツ力 $\mathbf{F}=q\mathbf{v}\times \mathbf{B}$ を扱う必要があり、速度に依存する力という厄介な状況になります。ハミルトン形式ではベクトルポテンシャル $\mathbf{A}$ を使ってすっきりと記述できます。

対称ゲージ $\mathbf{A}=(-By/2,Bx/2,0)$ を選ぶと、ハミルトニアンは次の形になります。

$$H=\frac{1}{2m}\left[{\left(p_x+\frac{qBy}{2}\right)}^2+{\left(p_y-\frac{qBx}{2}\right)}^2\right]$$

正準方程式を立てれば、荷電粒子が磁場中で円運動（サイクロトロン運動）をすることが導かれます。ここで注目すべきは、正準運動量 $p_x,p_y$ が通常の運動量 $m\dot{x},m\dot{y}$ と一致しないという点です。ベクトルポテンシャルの寄与が加わるため、$p=m\dot{x}+q{A}_x$ のように修正されます。

位相空間の流れとリュービルの定理

正準方程式は位相空間内の「流れ」を定義しています。多数の初期条件から出発する軌道を同時に考えると、位相空間内を流体のように状態点が流れていく描像が得られます。

この流れについて成り立つ重要な定理がリュービルの定理です。正準方程式に従う流れは、位相空間内の体積を保存します。数学的には次のように表現されます。

$$\frac{\partial \dot{q}}{\partial q}+\frac{\partial \dot{p}}{\partial p}=\frac{{\partial }^{2}H}{\partial q\partial p}-\frac{{\partial }^{2}H}{\partial p\partial q}=0$$

正準方程式の対称的な構造から、流れの発散がちょうどゼロになるわけです。

リュービルの定理は統計力学の基礎を支えています。位相空間の体積が保存されるからこそ、ミクロカノニカル集団における等重率の仮定が正当化されるのです。また、数値シミュレーションにおいても、体積保存を破らないシンプレクティック積分法が長時間計算の安定性を保証するために用いられています。

ポアソン括弧と量子力学への道

正準方程式は、ポアソン括弧を導入するとさらに抽象的で美しい形に書き換えられます。位相空間上の任意の 2 つの物理量 $A(q,p)$ と $B(q,p)$ に対して、ポアソン括弧を次のように定義します。

$$\{A,B\}=\sum _i\left(\frac{\partial A}{\partial q_i}\frac{\partial B}{\partial p_i}-\frac{\partial A}{\partial p_i}\frac{\partial B}{\partial q_i}\right)$$

この記法を使うと、正準方程式は次のように書けます。

$$\dot{q}=\{q,H\},\dot{p}=\{p,H\}$$

さらに一般化すれば、任意の物理量 $A$ の時間発展も $\dot{A}=\{A,H\}$ というひとつの式で表現されます。正準変数の間には基本ポアソン括弧 $\{q_i,p_j\}={\delta }_{ij}$ が成り立ち、これが正準方程式の背後にある代数的構造を規定しています。

ハミルトン形式で整備された古典力学の構造が、量子力学の土台にそのまま受け継がれている — この事実こそ、正準方程式を学ぶ最も深い動機のひとつといえるでしょう。