多角形の対角線の本数（公式と証明）

$n$ 角形の対角線の本数は

$\frac{1}{2} \times n \times (n - 3)$

である。

例えば $4$ 角形の対角線は $2$ 本であるが、上の公式の $n$ に $4$ を入れると

$\frac{1}{2} \times 4 \times (4 - 3) = 2$

となり、公式が正しいことがわかる。

公式を用いると $4$ 角形から $12$ 角形までの対角線の本数は以下のようになる。

n角形	対角線の本数
4角形	2本
5角形	5本
6角形	9本
7角形	14本
8角形	20本
9角形	27本
10角形	35本
11角形	44本
12角形	54本

「 $n$ 角形の対角線の本数の公式」の証明

$n$ 角形の $2$ つの頂点を選ぶと、辺または対角線ができる。つまり

辺の本数 $+$ 対角線の本数 $=$ $_{n} C_{2}$

である。辺の本数は $n$ 本であるから

（対角線の本数）

$=_{n} C_{2} - n = \frac{1}{2} \times n \times (n - 1) - n = \frac{1}{2} \times n \times (n - 1) - \frac{1}{2} \times 2 \times n = \frac{1}{2} \times n \times {(n - 1) - 2} = \frac{1}{2} \times n \times (n - 3)$

となる。