多角形の対角線の本数（公式と証明）

$n$ 角形の対角線の本数は

$$\frac{1}{2}\times n\times (n-3)$$

である。

例えば $4$ 角形の対角線は $2$ 本であるが、上の公式の $n$ に $4$ を入れると

$$\frac{1}{2}\times 4\times (4-3)=2$$

となり、公式が正しいことがわかる。

公式を用いると $4$ 角形から $12$ 角形までの対角線の本数は以下のようになる。

n角形	対角線の本数
4角形	2本
5角形	5本
6角形	9本
7角形	14本
8角形	20本
9角形	27本
10角形	35本
11角形	44本
12角形	54本

「 $n$ 角形の対角線の本数の公式」の証明

$n$ 角形の $2$ つの頂点を選ぶと、辺または対角線ができる。つまり

辺の本数 $+$ 対角線の本数 $=$ ${}_n{C}_2$

である。辺の本数は $n$ 本であるから

（対角線の本数）

$$\begin{gathered} ={}_n{C}_2-n \\ =\frac{1}{2}\times n\times (n-1)-n \\ =\frac{1}{2}\times n\times (n-1)-\frac{1}{2}\times 2\times n \\ =\frac{1}{2}\times n\times \left\{(n-1)-2\right\} \\ =\frac{1}{2}\times n\times (n-3) \end{gathered}$$

となる。