多角形の対角線の本数(公式と証明)
$n$ 角形の対角線の本数は \[ \dfrac{1}{2} \times n \times (n-3) \] である。
例えば $4$ 角形の対角線は $2$ 本であるが、上の公式の $n$ に $4$ を入れると
\[ \dfrac{1}{2} \times 4 \times (4-3)=2 \]
となり、公式が正しいことがわかる。
公式を用いると $4$ 角形から $12$ 角形までの対角線の本数は以下のようになる。
n角形 | 対角線の本数 |
---|---|
4角形 | 2本 |
5角形 | 5本 |
6角形 | 9本 |
7角形 | 14本 |
8角形 | 20本 |
9角形 | 27本 |
10角形 | 35本 |
11角形 | 44本 |
12角形 | 54本 |
「 $n$ 角形の対角線の本数の公式」の証明
$n$ 角形の $2$ つの頂点を選ぶと、辺または対角線ができる。つまり
辺の本数 $+$ 対角線の本数 $=$ ${}_n C _2$
である。辺の本数は $n$ 本であるから
(対角線の本数)
[
={}_n C _2-n \
=\dfrac{1}{2} \times n \times (n-1)-n \
=\dfrac{1}{2} \times n \times (n-1)-\dfrac{1}{2} \times 2 \times n \
=\dfrac{1}{2} \times n \times \left{(n-1)-2\right} \
=\dfrac{1}{2} \times n \times (n-3)
]
となる。