分数の割り算は、どうして分子と分母をひっくり返すのか？

分数の割り算は割るほうの分数をひっくり返してかけ算しますが、なぜでしょうか。

$$\begin{array}{c}\frac{2}{3}÷\frac{5}{7}\end{array}$$

を考えてみます。これは

$$\begin{array}{c}\frac{2}{3}÷\frac{5}{7}=\frac{2}{3}\times \frac{7}{5}=\frac{14}{15}\end{array}$$

となりますが、そもそもなぜ分数の割り算は、分母と分子をひっくり返すのでしょうか？

分数の割り算を整数のかけ算と割り算に分解する

この謎は、分数を「整数 ÷ 整数」に表示することでわかります。

$$\begin{array}{rl}\frac{2}{3}& =2÷3\\ & \\ \frac{5}{7}& =5÷7\end{array}$$

なので

$$\begin{array}{c}\frac{2}{3}÷\frac{5}{7}=(2÷3)÷(5÷7)\end{array}$$

となる。ここで「割り算の中にある割り算はかけ算になる」という法則があるので

$$\begin{array}{c}(2÷3)÷(5÷7)=2÷3÷5\times 7\end{array}$$

となり

$$\begin{array}{rl}\frac{2}{3}÷\frac{5}{7}& =(2÷3)÷(5÷7)\\ & \\ & =2÷3÷5\times 7\\ & \\ & =2÷3\times 7÷5\\ & \\ & =(2÷3)\times (7÷5)\\ & \\ & =\frac{2}{3}\times \frac{7}{5}\end{array}$$

となります。