分数の割り算は、どうして分子と分母をひっくり返すのか？

分数の割り算は割るほうの分数をひっくり返してかけ算しますが、なぜでしょうか。

$\frac{2}{3} \div \frac{5}{7}$

を考えてみます。これは

$\frac{2}{3} \div \frac{5}{7} = \frac{2}{3} \times \frac{7}{5} = \frac{14}{15}$

となりますが、そもそもなぜ分数の割り算は、分母と分子をひっくり返すのでしょうか？

分数の割り算を整数のかけ算と割り算に分解する

この謎は、分数を「整数 ÷ 整数」に表示することでわかります。

$\frac{2}{3} \frac{5}{7} = 2 \div 3 = 5 \div 7$

なので

$\frac{2}{3} \div \frac{5}{7} = (2 \div 3) \div (5 \div 7)$

となる。ここで「割り算の中にある割り算はかけ算になる」という法則があるので

$(2 \div 3) \div (5 \div 7) = 2 \div 3 \div 5 \times 7$

となり

$\frac{2}{3} \div \frac{5}{7} = (2 \div 3) \div (5 \div 7) = 2 \div 3 \div 5 \times 7 = 2 \div 3 \times 7 \div 5 = (2 \div 3) \times (7 \div 5) = \frac{2}{3} \times \frac{7}{5}$

となります。

分数の割り算で分母と分子がひっくり返るのは、分数を「整数÷整数」で表すとわかります。