場合分けと条件式｜LaTeX

場合分けや条件式は数学でよく使う表現です。LaTeX では cases 環境を中心に、いくつかの書き方があります。

cases 環境の基本

場合分けの最も基本的な書き方です。

\[
f(x) = \begin{cases}
1 & (x > 0) \\
0 & (x = 0) \\
-1 & (x < 0)
\end{cases}
\]

$f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 10 - 1 (x > 0) (x = 0) (x < 0)$

条件部分の書き方にはいくつかのスタイルがあります。

\[
|x| = \begin{cases}
x & (x \geq 0) \\
-x & (x < 0)
\end{cases}
\]

\[
|x| = \begin{cases}
x & \text{if } x \geq 0 \\
-x & \text{if } x < 0
\end{cases}
\]

\[
|x| = \begin{cases}
x, & x \geq 0 \\
-x, & x < 0
\end{cases}
\]

$∣ x ∣ = {x - x (x \geq 0) (x < 0)$

$∣ x ∣ = {x - x if x \geq 0 if x < 0$

$∣ x ∣ = {x, - x, x \geq 0 x < 0$

床関数（切り捨て）と天井関数（切り上げ）の定義です。

\[
\lfloor x \rfloor = \max\{n \in \mathbb{Z} : n \leq x\}
\]

\[
\lceil x \rceil = \min\{n \in \mathbb{Z} : n \geq x\}
\]

$⌊ x ⌋ = max {n \in Z : n \leq x}$

$⌈ x ⌉ = min {n \in Z : n \geq x}$

\[
\max(a, b) = \begin{cases}
a & (a \geq b) \\
b & (a < b)
\end{cases}
\]

$max (a, b) = {a b (a \geq b) (a < b)$

工学でよく使われる関数です。

\[
H(x) = \begin{cases}
0 & (x < 0) \\
\frac{1}{2} & (x = 0) \\
1 & (x > 0)
\end{cases}
\]

$H (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 0 \frac{1}{2} 1 (x < 0) (x = 0) (x > 0)$

厳密には関数ではありませんが、次のように書かれることがあります。

\[
\delta(x) = \begin{cases}
+\infty & (x = 0) \\
0 & (x \neq 0)
\end{cases}
\]

$δ (x) = {+ \infty 0 (x = 0) (x \neq = 0)$

\[
\delta_{ij} = \begin{cases}
1 & (i = j) \\
0 & (i \neq j)
\end{cases}
\]

$δ_{ij} = {10 (i = j) (i \neq = j)$

「otherwise」や「それ以外」を使った表現です。

\[
f(x) = \begin{cases}
x^2 & (x \in \mathbb{Q}) \\
0 & \text{otherwise}
\end{cases}
\]

$f (x) = {x^{2} 0 (x \in Q) otherwise$

複数の条件を組み合わせることもできます。

\[
f(x, y) = \begin{cases}
1 & (x > 0 \text{ かつ } y > 0) \\
-1 & (x < 0 \text{ または } y < 0) \\
0 & \text{その他}
\end{cases}
\]

$f (x, y) = ⎩ ⎨ ⎧ 1 - 1 0 (x > 0 かつ y > 0) (x < 0 または y < 0) その他$

ReLU 関数のような区分線形関数です。

\[
\text{ReLU}(x) = \max(0, x) = \begin{cases}
x & (x > 0) \\
0 & (x \leq 0)
\end{cases}
\]

$ReLU (x) = max (0, x) = {x 0 (x > 0) (x \leq 0)$

周期的に繰り返す関数も場合分けで定義できます。

\[
f(x) = \begin{cases}
x & (0 \leq x < 1) \\
f(x - 1) & (x \geq 1) \\
f(x + 1) & (x < 0)
\end{cases}
\]

$f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ x f (x - 1) f (x + 1) (0 \leq x < 1) (x \geq 1) (x < 0)$

数学的命題を条件付きで書くこともあります。

\[
\text{$n$ が素数} \iff \begin{cases}
n > 1 \\
n \text{ の約数は } 1 \text{ と } n \text{ のみ}
\end{cases}
\]

$n が素数 ⟺ {n > 1 n の約数は 1 と n のみ$