波の式を丸暗記しようとすると、符号でも の位置でも迷います。作り方をたどれば、迷う場所そのものがなくなります。
はじめに、波源のある原点だけを見ます。そこは上下に振動しているだけなので、時間だけの関数として書けます。振幅を 、周期を として、 です。
が角度になっていることを確かめてください。 を入れると 、つまり 1 周ぶんです。1 周期でちょうど 1 周する、それだけの式です。
つぎに、原点から だけ離れた点を見ます。図の下のグラフです。形は上とまったく同じで、右へずれているだけです。
ずれる理由は 1 つしかありません。波が原点からその点まで届くのに時間がかかるからです。速さ で距離 を渡るのですから、かかる時間は です。
ですから、離れた点はいま、原点が だけ前にしていた運動をしています。式にすれば、原点の式の を に替えるだけです。波の式で位置が出てくるのは、この遅れのためだけです。
2 つの印は同じ時刻を指しています。同じ瞬間なのに高さが違うのは、遅れているぶんだけ振動の進み具合が違うからです。この「進み具合」を位相といいます。
あとは代入するだけです。 に を入れます。
このままでは が残るので、前の講義の と を使います。すると となり、 が顔を出します。
これを入れて で括ると、 が残ります。
かっこの中を見てください。時間を周期で割ったものと、位置を波長で割ったものの差になっています。どちらも単位のない量で、「何周期ぶん経ったか」と「何波長ぶん離れたか」を表しています。波の式は、この 2 つの引き算を角度に直しただけのものです。
最後は符号です。いま作った式では、位置の項が引き算になっています。 が大きいほど遅れる、という作り方をしたからです。遅れるのが右側なら、波は右へ進んでいます。
左へ進む波なら、遅れるのは左側です。 が大きいほど早く振動が始まるので、符号がひっくり返って になります。図の上下がその 2 つで、形も速さも同じで、違うのは向きだけです。
覚え方は「マイナスなら右、プラスなら左」で足ります。それでも迷ったら、 の波形を描き、少しあとの波形と見比べてください。どちらへずれたかで向きが決まります。
なお、この 2 つを足したものが定常波です。右へ進む波と左へ進む波が重なると、どちらへも進まずにその場で振動する波になります。定常波の講義では、この足し算をそのまま計算します。