級数展開｜LaTeX

関数を無限級数で表現する級数展開は、解析学の基本であり、物理学や工学でも頻繁に登場する。ここでは主要な級数展開の LaTeX 記法をまとめる。

テイラー展開

点 $a$ のまわりで関数 $f(x)$ を展開する一般形がテイラー展開である。

f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n

これをレンダリングすると次のようになる。

$$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n$$

展開を途中で打ち切る場合は、剰余項 $R_n$ を明示することもある。

f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + R_n(x)

マクローリン展開

$a=0$ のまわりで展開する特殊ケースがマクローリン展開だ。テイラー展開の式で $a=0$ とすればよい。

f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n

$$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n$$

以下では主要な関数のマクローリン展開を示す。

指数関数

$e^x$ の展開は最も基本的なものの一つである。

e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots

$$e^x=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$$

この級数はすべての実数 $x$ で収束する。

三角関数

正弦関数と余弦関数の展開は符号が交互に変わるのが特徴だ。

\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1} 
       = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots

$$\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!}{x}^{2n+1}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots$$

\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}
       = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots

$$\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{(2n)!}{x}^{2n}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots$$

$\sin x$ は奇関数なので奇数次の項のみ、$\cos x$ は偶関数なので偶数次の項のみで構成される。

対数関数

自然対数 $\ln (1+x)$ は $|x|\le 1$（ただし $x\ne -1$）で収束する。

\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}x^n
         = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots

$$\ln (1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}{x}^n=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots$$

等比級数

等比級数の和は $|x|<1$ で次のように表される。

\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots

$$\frac{1}{1-x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x}^n=1+x+x^2+x^3+\cdots$$

この式は他の級数を導出する際の出発点としてもよく使われる。

一般化二項展開

実数 $\alpha$ に対する $(1+x{)}^{\alpha }$ の展開は、二項係数を一般化した形で書ける。

(1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{\alpha}{n} x^n

ここで一般化二項係数は次のように定義される。

\binom{\alpha}{n} = \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}

展開形は以下のとおり。

$$(1+x{)}^{\alpha }=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}{x}^2+\frac{\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)}{3!}{x}^3+\cdots$$

$\alpha$ が正の整数のときは有限和になり、通常の二項定理に帰着する。

オイラーの公式

複素数に拡張すると、指数関数と三角関数を結びつけるオイラーの公式が得られる。

e^{ix} = \cos x + i\sin x

$$e^{ix}=\cos x+i\sin x$$

ここで $x=\pi$ を代入すると、オイラーの等式が導かれる。

e^{i\pi} + 1 = 0

$$e^{i\pi }+1=0$$

この等式は $e$、$i$、$\pi$、$1$、$0$ という数学の基本定数を一つの式に凝縮しており、「最も美しい数式」と呼ばれることもある。