極限の公式｜LaTeX

極限は微積分学の基礎をなす概念であり、関数の挙動を調べる際に欠かせません。ここでは極限に関する主要な公式の LaTeX 記法をまとめます。

極限の定義

イプシロン・デルタ論法による厳密な定義です。

\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \forall \varepsilon > 0,\, \exists \delta > 0 : 0 < |x-a| < \delta \Rightarrow |f(x)-L| < \varepsilon

$x \to a lim f (x) = L ⟺ \forall ε > 0, \exists δ > 0 : 0 < ∣ x - a ∣ < δ \Rightarrow ∣ f (x) - L ∣ < ε$

片側極限

右極限と左極限の記法です。

\lim_{x \to a^+} f(x), \quad \lim_{x \to a^-} f(x)

$x \to a^{+} lim f (x), x \to a^{-} lim f (x)$

両側からの極限が一致するとき、極限が存在します。

\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{x \to a^-} f(x) = L

$x \to a lim f (x) = L ⟺ x \to a^{+} lim f (x) = x \to a^{-} lim f (x) = L$

極限の基本性質

極限の線形性を表す公式です。

\lim_{x \to a} \{f(x) + g(x)\} = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x)

\lim_{x \to a} cf(x) = c \lim_{x \to a} f(x)

\lim_{x \to a} f(x)g(x) = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x)

$x \to a lim {f (x) + g (x)} = x \to a lim f (x) + x \to a lim g (x)$

$x \to a lim c f (x) = c x \to a lim f (x)$

$x \to a lim f (x) g (x) = x \to a lim f (x) \cdot x \to a lim g (x)$

有名な極限

三角関数に関する基本的な極限です。

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

$x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1$

これから派生する極限も頻出します。

\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}

\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1

$x \to 0 lim \frac{1 - cos x}{x ^{2}} = \frac{1}{2}$

$x \to 0 lim \frac{tan x}{x} = 1$

自然対数の底 e

ネイピア数 $e$ の定義に関わる極限です。

e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n

$e = n \to \infty lim (1 + \frac{1}{n})^{n}$

連続形式では次のようになります。

e = \lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x}

$e = x \to 0 lim (1 + x)^{1/ x}$

より一般的な形として、次の公式も重要です。

\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1

\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1

$x \to 0 lim \frac{e ^{x} - 1}{x} = 1$

$x \to 0 lim \frac{ln ( 1 + x )}{x} = 1$

無限大への極限

$x \to \infty$ のときの極限です。

\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0

\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{a}{x}\right)^x = e^a

$x \to \infty lim \frac{1}{x} = 0$

$x \to \infty lim (1 + \frac{a}{x})^{x} = e^{a}$

指数関数と多項式の増加速度を比較する極限です。

\lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = 0 \quad (\forall n \in \mathbb{N})

\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x^a} = 0 \quad (a > 0)

$x \to \infty lim \frac{x ^{n}}{e ^{x}} = 0 (\forall n \in N)$

$x \to \infty lim \frac{ln x}{x ^{a}} = 0 (a > 0)$

挟み撃ちの原理

不等式を用いて極限を求める定理です。

g(x) \leq f(x) \leq h(x) \text{ かつ } \lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L \Rightarrow \lim_{x \to a} f(x) = L

$g (x) \leq f (x) \leq h (x) かつ x \to a lim g (x) = x \to a lim h (x) = L \Rightarrow x \to a lim f (x) = L$

ロピタルの定理

$\frac{0}{0}$ 型や $\frac{\infty}{\infty}$ 型の不定形を解消する定理です。

\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}

$x \to a lim \frac{f ( x )}{g ( x )} = x \to a lim \frac{f ^{'} ( x )}{g ^{'} ( x )}$

この定理は $f (a) = g (a) = 0$ または $lim_{x \to a} ∣ f (x) ∣ = lim_{x \to a} ∣ g (x) ∣ = \infty$ のとき適用できます。

数列の極限

数列 ${a_{n}}$ の極限の記法です。

\lim_{n \to \infty} a_n = L

$n \to \infty lim a_{n} = L$

等比数列の極限は次のようになります。

\lim_{n \to \infty} r^n = \begin{cases} 0 & (|r| < 1) \\ 1 & (r = 1) \\ \text{発散} & (|r| > 1 \text{ または } r = -1) \end{cases}

$n \to \infty lim r^{n} = ⎩ ⎨ ⎧ 01 発散 (∣ r ∣ < 1) (r = 1) (∣ r ∣ > 1 または r = - 1)$

級数の収束

無限級数の和は極限として定義されます。

\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \lim_{N \to \infty} \sum_{n=1}^{N} a_n

$n = 1 \sum \infty a_{n} = N \to \infty lim n = 1 \sum N a_{n}$

上極限と下極限

数列の振動を捉える概念です。

\limsup_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \sup_{k \geq n} a_k

\liminf_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \inf_{k \geq n} a_k

$n \to \infty lim sup a_{n} = n \to \infty lim k \geq n sup a_{k}$

$n \to \infty lim inf a_{n} = n \to \infty lim k \geq n in f a_{k}$