積分の公式｜LaTeX

積分は微分の逆演算であり、面積や体積の計算、物理量の累積などに使われます。ここでは積分に関する主要な公式の LaTeX 記法をまとめます。

不定積分の定義

不定積分は原始関数を求める操作で、積分定数 $C$ を伴います。

\int f(x)\,dx = F(x) + C

$\int f (x) d x = F (x) + C$

ここで $F^{'} (x) = f (x)$ が成り立ちます。

定積分の定義

定積分はリーマン和の極限として定義されます。

\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f(x_k)\Delta x

$\int_{a}^{b} f (x) d x = n \to \infty lim k = 1 \sum n f (x_{k}) Δ x$

微積分学の基本定理により、次の関係が成り立ちます。

\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) = \Big[F(x)\Big]_a^b

$\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a) = [F (x)]_{a}^{b}$

べき関数の積分

最も基本的な積分公式です。

\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)

$\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C (n \neq = - 1)$

$n = - 1$ の場合は対数になります。

\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C

$\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + C$

指数関数の積分

指数関数の積分公式です。

\int e^x\,dx = e^x + C

\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C

$\int e^{x} d x = e^{x} + C$

$\int a^{x} d x = \frac{a ^{x}}{ln a} + C$

三角関数の積分

基本的な三角関数の積分公式です。

\int \sin x\,dx = -\cos x + C

\int \cos x\,dx = \sin x + C

\int \tan x\,dx = -\ln|\cos x| + C

$\int sin x d x = - cos x + C$

$\int cos x d x = sin x + C$

$\int tan x d x = - ln ∣ cos x ∣ + C$

\int \sec^2 x\,dx = \tan x + C

\int \csc^2 x\,dx = -\cot x + C

$\int sec^{2} x d x = tan x + C$

$\int csc^{2} x d x = - cot x + C$

逆三角関数を与える積分

これらの積分は逆三角関数になります。

\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = \arcsin x + C

\int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan x + C

$\int \frac{1}{1 - x ^{2}} d x = arcsin x + C$

$\int \frac{1}{1 + x ^{2}} d x = arctan x + C$

置換積分

変数変換 $x = g (t)$ による置換積分の公式です。

\int f(x)\,dx = \int f(g(t))g'(t)\,dt

$\int f (x) d x = \int f (g (t)) g^{'} (t) d t$

定積分の場合は積分範囲も変換します。

\int_a^b f(x)\,dx = \int_{\alpha}^{\beta} f(g(t))g'(t)\,dt

$\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{α}^{β} f (g (t)) g^{'} (t) d t$

部分積分

積の微分法に対応する積分公式です。

\int f(x)g'(x)\,dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)\,dx

$\int f (x) g^{'} (x) d x = f (x) g (x) - \int f^{'} (x) g (x) d x$

定積分の場合は次のようになります。

\int_a^b f(x)g'(x)\,dx = \Big[f(x)g(x)\Big]_a^b - \int_a^b f'(x)g(x)\,dx

$\int_{a}^{b} f (x) g^{'} (x) d x = [f (x) g (x)]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} f^{'} (x) g (x) d x$

有理関数の積分

部分分数分解を用いた積分の典型的な形です。

\int \frac{1}{x-a}\,dx = \ln|x-a| + C

\int \frac{1}{(x-a)^n}\,dx = \frac{(x-a)^{1-n}}{1-n} + C \quad (n \neq 1)

$\int \frac{1}{x - a} d x = ln ∣ x - a ∣ + C$

$\int \frac{1}{( x - a ) ^{n}} d x = \frac{( x - a ) ^{1 - n}}{1 - n} + C (n \neq = 1)$

二次式を含む場合の公式です。

\int \frac{1}{x^2+a^2}\,dx = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C

$\int \frac{1}{x ^{2} + a ^{2}} d x = \frac{1}{a} arctan \frac{x}{a} + C$

ガウス積分

確率論や量子力学で重要なガウス積分です。

\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}

$\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x = π$

一般形は次のようになります。

\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2}\,dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}}

$\int_{- \infty}^{\infty} e^{- a x^{2}} d x = \frac{π}{a}$

重積分

二重積分と三重積分の記法です。

\iint_D f(x,y)\,dA = \iint_D f(x,y)\,dx\,dy

\iiint_V f(x,y,z)\,dV = \iiint_V f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz

$\iint_{D} f (x, y) d A = \iint_{D} f (x, y) d x d y$

$∭_{V} f (x, y, z) d V = ∭_{V} f (x, y, z) d x d y d z$

線積分と面積分

ベクトル解析で使われる線積分と面積分の記法です。

\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_C (P\,dx + Q\,dy + R\,dz)

\iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iint_S \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\,dS

$\int_{C} F \cdot d r = \int_{C} (P d x + Q d y + R d z)$

$\iint_{S} F \cdot d S = \iint_{S} F \cdot n d S$

閉曲線・閉曲面上の積分は $\oint$ を使います。

\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}

$\oint_{C} F \cdot d r$