ベクトルの公式｜LaTeX

ベクトルは物理学や工学で力や速度を表すのに使われる基本概念です。ここではベクトルに関する公式の LaTeX 記法をまとめます。

ベクトルの表記

ベクトルは太字や矢印で表記します。

\mathbf{a}, \quad \vec{a}, \quad \boldsymbol{a}

$a, a, a$

成分表示は次のように書きます。

\mathbf{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} = (a_1, a_2, a_3)

$a = a_{1} a_{2} a_{3} = (a_{1}, a_{2}, a_{3})$

単位ベクトルは $^$ を付けて表すことが多いです。

\hat{\mathbf{a}} = \frac{\mathbf{a}}{|\mathbf{a}|}

$\hat{a} = \frac{a}{∣ a ∣}$

基本ベクトル

三次元の標準基底ベクトルです。

\mathbf{i} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad
\mathbf{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad
\mathbf{k} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}

$i = 100, j = 010, k = 001$

任意のベクトルは基底の線形結合で表せます。

\mathbf{a} = a_1\mathbf{i} + a_2\mathbf{j} + a_3\mathbf{k}

$a = a_{1} i + a_{2} j + a_{3} k$

ベクトルの大きさ

ベクトルの大きさ（ノルム）は次のように計算します。

|\mathbf{a}| = \|\mathbf{a}\| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}

$∣ a ∣ = ∥ a ∥ = a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}$

内積（スカラー積）

二つのベクトルの内積は次のように定義されます。

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta

$a \cdot b = ∣ a ∣∣ b ∣ cos θ$

成分表示では次のようになります。

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3

$a \cdot b = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}$

内積を使うと、二つのベクトルのなす角が求められます。

\cos\theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}

$cos θ = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣∣ b ∣}$

直交条件は次のように書けます。

\mathbf{a} \perp \mathbf{b} \iff \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0

$a ⊥ b ⟺ a \cdot b = 0$

外積（ベクトル積）

三次元での外積は次のように定義されます。

\mathbf{a} \times \mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\theta\, \mathbf{n}

$a \times b = ∣ a ∣∣ b ∣ sin θ n$

成分表示では行列式を使って表せます。

\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}

$a \times b = i a_{1} b_{1} j a_{2} b_{2} k a_{3} b_{3}$

展開すると次のようになります。

\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2 b_3 - a_3 b_2)\mathbf{i} - (a_1 b_3 - a_3 b_1)\mathbf{j} + (a_1 b_2 - a_2 b_1)\mathbf{k}

$a \times b = (a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2}) i - (a_{1} b_{3} - a_{3} b_{1}) j + (a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}) k$

外積の大きさは平行四辺形の面積に等しいです。

|\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\theta

$∣ a \times b ∣ = ∣ a ∣∣ b ∣ sin θ$

三重積

スカラー三重積は平行六面体の体積を表します。

\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}

$a \cdot (b \times c) = a_{1} b_{1} c_{1} a_{2} b_{2} c_{2} a_{3} b_{3} c_{3}$

ベクトル三重積の公式です。

\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c})\mathbf{b} - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})\mathbf{c}

$a \times (b \times c) = (a \cdot c) b - (a \cdot b) c$

射影

ベクトル $a$ の $b$ 方向への射影です。

\text{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|^2}\mathbf{b}

$proj_{b} a = \frac{a \cdot b}{∣ b ∣ ^{2}} b$

スカラー射影は次のとおりです。

\text{comp}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|}

$comp_{b} a = \frac{a \cdot b}{∣ b ∣}$

位置ベクトルと直線

点 A から点 B へのベクトルは次のように書きます。

\overrightarrow{AB} = \mathbf{b} - \mathbf{a}

$A B = b - a$

直線のベクトル方程式です。

\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{d}

$r = a + t d$

平面の方程式

法線ベクトル $n$ を持つ平面の方程式です。

\mathbf{n} \cdot (\mathbf{r} - \mathbf{a}) = 0

$n \cdot (r - a) = 0$

成分で書くと次のようになります。

ax + by + cz = d

$a x + b y + cz = d$

ベクトル解析の演算子

勾配（グラディエント）です。

\nabla f = \text{grad}\, f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right)

$\nabla f = grad f = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z})$

発散（ダイバージェンス）です。

\nabla \cdot \mathbf{F} = \text{div}\, \mathbf{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}

$\nabla \cdot F = div F = \frac{\partial F _{x}}{\partial x} + \frac{\partial F _{y}}{\partial y} + \frac{\partial F _{z}}{\partial z}$

回転（ローテーション）です。

\nabla \times \mathbf{F} = \text{rot}\, \mathbf{F} = \text{curl}\, \mathbf{F}

$\nabla \times F = rot F = curl F$