微分の公式｜LaTeX
微分は関数の変化率を表す基本的な操作で、物理学や工学で広く使われます。ここでは微分に関する主要な公式の LaTeX 記法をまとめます。
微分の定義
微分係数は極限を用いて次のように定義されます。
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}
ライプニッツ記法では次のように書きます。
\frac{df}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x}
基本的な微分公式
べき関数の微分は最も基本的な公式です。
\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}
定数の微分は 0 になります。
\frac{d}{dx}c = 0
和・差・定数倍
微分の線形性を表す公式です。
\frac{d}{dx}\{f(x) + g(x)\} = f'(x) + g'(x)\frac{d}{dx}\{cf(x)\} = cf'(x)
積の微分法
二つの関数の積を微分する公式です。
\frac{d}{dx}\{f(x)g(x)\} = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
三つの関数の積に拡張すると次のようになります。
(fgh)' = f'gh + fg'h + fgh'
商の微分法
分数形式の関数を微分する公式です。
\frac{d}{dx}\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\} = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}
合成関数の微分（連鎖律）
合成関数 を微分する公式です。チェーンルールとも呼ばれます。
\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)
ライプニッツ記法では次のように書けます。
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
逆関数の微分
逆関数 の微分は次の関係で表されます。
\frac{d}{dx}f^{-1}(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}
指数関数の微分
自然対数の底 を使った指数関数は、微分しても形が変わりません。
\frac{d}{dx}e^x = e^x\frac{d}{dx}a^x = a^x \ln a
対数関数の微分
自然対数と一般の対数の微分公式です。
\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}\frac{d}{dx}\log_a x = \frac{1}{x \ln a}
三角関数の微分
基本的な三角関数の微分公式です。
\frac{d}{dx}\sin x = \cos x\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x\frac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}
逆三角関数の微分
逆三角関数の微分公式です。
\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\frac{d}{dx}\arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1+x^2}
高階微分
二階以上の微分を表す記法です。
f''(x) = \frac{d^2f}{dx^2}f^{(n)}(x) = \frac{d^nf}{dx^n}
偏微分
多変数関数の偏微分は を使って表します。
\frac{\partial f}{\partial x}, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}
ナブラ演算子を使った勾配の表記も頻出します。
\nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right)
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