確率分布の公式｜LaTeX

確率分布は統計学やデータ分析の基礎であり、自然現象や社会現象のモデル化に使われます。ここでは主要な確率分布の LaTeX 記法をまとめます。

確率変数と期待値

離散型確率変数の期待値です。

E[X] = \sum_i x_i P(X = x_i)

$E [X] = i \sum x_{i} P (X = x_{i})$

連続型確率変数の期待値です。

E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x)\,dx

$E [X] = \int_{- \infty}^{\infty} x f (x) d x$

分散と標準偏差

分散の定義です。

\text{Var}(X) = E[(X - \mu)^2] = E[X^2] - (E[X])^2

$Var (X) = E [(X - μ)^{2}] = E [X^{2}] - (E [X])^{2}$

標準偏差は分散の平方根です。

\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)}

$σ = Var (X)$

二項分布

$n$ 回の試行で成功確率 $p$ のとき、 $k$ 回成功する確率です。

P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

$P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$

二項係数は次のように定義されます。

\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

$(k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$

期待値と分散は次のとおりです。

E[X] = np, \quad \text{Var}(X) = np(1-p)

$E [X] = n p, Var (X) = n p (1 - p)$

ポアソン分布

単位時間あたりの平均発生回数が $λ$ のとき、 $k$ 回発生する確率です。

P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}

$P (X = k) = \frac{λ ^{k} e ^{- λ}}{k !}$

期待値と分散は同じ値になります。

E[X] = \lambda, \quad \text{Var}(X) = \lambda

$E [X] = λ, Var (X) = λ$

正規分布（ガウス分布）

正規分布の確率密度関数です。

f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)

$f (x) = \frac{1}{2 π σ} exp (- \frac{( x - μ ) ^{2}}{2 σ ^{2}})$

正規分布に従うことを次のように表記します。

X \sim N(\mu, \sigma^2)

$X \sim N (μ, σ^{2})$

標準正規分布は $μ = 0$ , $σ = 1$ の場合です。

\phi(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-z^2/2}

$ϕ (z) = \frac{1}{2 π} e^{- z^{2} /2}$

累積分布関数は次のように書きます。

\Phi(z) = \int_{-\infty}^{z} \phi(t)\,dt

$Φ (z) = \int_{- \infty}^{z} ϕ (t) d t$

指数分布

指数分布の確率密度関数です。

f(x) = \lambda e^{-\lambda x} \quad (x \geq 0)

$f (x) = λ e^{- λ x} (x \geq 0)$

期待値と分散は次のとおりです。

E[X] = \frac{1}{\lambda}, \quad \text{Var}(X) = \frac{1}{\lambda^2}

$E [X] = \frac{1}{λ}, Var (X) = \frac{1}{λ ^{2}}$

一様分布

区間 $[a, b]$ 上の一様分布です。

f(x) = \frac{1}{b-a} \quad (a \leq x \leq b)

$f (x) = \frac{1}{b - a} (a \leq x \leq b)$

期待値と分散は次のとおりです。

E[X] = \frac{a+b}{2}, \quad \text{Var}(X) = \frac{(b-a)^2}{12}

$E [X] = \frac{a + b}{2}, Var (X) = \frac{( b - a ) ^{2}}{12}$

ガンマ分布

ガンマ分布の確率密度関数です。

f(x) = \frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\lambda x} \quad (x > 0)

$f (x) = \frac{λ ^{α}}{Γ ( α )} x^{α - 1} e^{- λ x} (x > 0)$

ガンマ関数は次のように定義されます。

\Gamma(\alpha) = \int_0^{\infty} t^{\alpha-1}e^{-t}\,dt

$Γ (α) = \int_{0}^{\infty} t^{α - 1} e^{- t} d t$

ベータ分布

ベータ分布の確率密度関数です。

f(x) = \frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)} \quad (0 < x < 1)

$f (x) = \frac{x ^{α - 1} ( 1 - x ) ^{β - 1}}{B ( α , β )} (0 < x < 1)$

ベータ関数は次のように定義されます。

B(\alpha,\beta) = \frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}

$B (α, β) = \frac{Γ ( α ) Γ ( β )}{Γ ( α + β )}$

カイ二乗分布

自由度 $k$ のカイ二乗分布は次のように表記します。

X \sim \chi^2(k)

$X \sim χ^{2} (k)$

確率密度関数は次のとおりです。

f(x) = \frac{1}{2^{k/2}\Gamma(k/2)}x^{k/2-1}e^{-x/2}

$f (x) = \frac{1}{2 ^{k /2} Γ ( k /2 )} x^{k /2 - 1} e^{- x /2}$

t 分布

自由度 $ν$ の t 分布です。

X \sim t(\nu)

$X \sim t (ν)$

確率密度関数は次のとおりです。

f(x) = \frac{\Gamma\left(\frac{\nu+1}{2}\right)}{\sqrt{\nu\pi}\,\Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right)}\left(1+\frac{x^2}{\nu}\right)^{-(\nu+1)/2}

$f (x) = \frac{Γ ( \frac{ν + 1}{2} )}{ν π Γ ( \frac{ν}{2} )} (1 + \frac{x ^{2}}{ν})^{- (ν + 1) /2}$

ベイズの定理

条件付き確率の関係を表す定理です。

P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}

$P (A ∣ B) = \frac{P ( B ∣ A ) P ( A )}{P ( B )}$

連続形式では次のようになります。

p(\theta|x) = \frac{p(x|\theta)p(\theta)}{p(x)}

$p (θ ∣ x) = \frac{p ( x ∣ θ ) p ( θ )}{p ( x )}$

中心極限定理

サンプル平均の分布は正規分布に近づきます。

\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i \xrightarrow{d} N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)

$\overset{ˉ}{X} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n X_{i} d N (μ, \frac{σ ^{2}}{n})$

標準化すると標準正規分布に収束します。

\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \xrightarrow{d} N(0, 1)

$\frac{X ˉ - μ}{σ / n} d N (0, 1)$