二次方程式と解の公式｜LaTeX

二次方程式は代数学の基本であり、解の公式は中学・高校数学から大学まで幅広く使われます。ここでは二次方程式に関する公式の LaTeX 記法をまとめます。

二次方程式の一般形

二次方程式は次の形で表されます。

ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)

$a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq = 0)$

解の公式

二次方程式の解は次の公式で求められます。

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

$x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}$

$\pm$ は二つの解を同時に表しています。個別に書くと次のようになります。

x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

$x_{1} = \frac{- b + b ^{2} - 4 a c}{2 a}, x_{2} = \frac{- b - b ^{2} - 4 a c}{2 a}$

判別式

解の性質を判定する判別式 $D$ は次のように定義されます。

D = b^2 - 4ac

$D = b^{2} - 4 a c$

判別式の符号と解の関係は次のとおりです。

\begin{cases}
D > 0 & \text{異なる 2 つの実数解} \\
D = 0 & \text{重解（1 つの実数解）} \\
D < 0 & \text{異なる 2 つの虚数解}
\end{cases}

$⎩ ⎨ ⎧ D > 0 D = 0 D < 0 異なる 2 つの実数解重解（ 1 つの実数解）異なる 2 つの虚数解$

解と係数の関係

二つの解 $α$ , $β$ と係数の間には次の関係が成り立ちます。これはヴィエトの公式とも呼ばれます。

\alpha + \beta = -\frac{b}{a}

\alpha \beta = \frac{c}{a}

$α + β = - \frac{b}{a}$

$α β = \frac{c}{a}$

これを使うと、解を求めずに解の和や積を計算できます。

因数分解形

二次方程式は解を用いて因数分解できます。

ax^2 + bx + c = a(x - \alpha)(x - \beta)

$a x^{2} + b x + c = a (x - α) (x - β)$

重解の場合は次のようになります。

ax^2 + bx + c = a(x - \alpha)^2

$a x^{2} + b x + c = a (x - α)^{2}$

平方完成

二次式を標準形に変形する平方完成は次のように書きます。

ax^2 + bx + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a}

$a x^{2} + b x + c = a (x + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{b ^{2} - 4 a c}{4 a}$

頂点形式では次のようになります。

y = a(x - p)^2 + q

$y = a (x - p)^{2} + q$

ここで頂点は $(p, q)$ です。

二次関数のグラフ

二次関数 $y = a x^{2} + b x + c$ の軸と頂点は次のとおりです。

\text{軸}: x = -\frac{b}{2a}

\text{頂点}: \left(-\frac{b}{2a},\, -\frac{D}{4a}\right)

$軸 : x = - \frac{b}{2 a}$

$頂点 : (- \frac{b}{2 a}, - \frac{D}{4 a})$

虚数解の場合

$D < 0$ のとき、解は複素数になります。

x = \frac{-b \pm i\sqrt{|D|}}{2a} = \frac{-b \pm i\sqrt{4ac - b^2}}{2a}

$x = \frac{- b \pm i ∣ D ∣}{2 a} = \frac{- b \pm i 4 a c - b ^{2}}{2 a}$

このとき二つの解は互いに共役な複素数です。

x_1 = \overline{x_2}

$x_{1} = \overline{x_{2}}$

三次方程式の解の公式

三次方程式 $x^{3} + p x + q = 0$ の解はカルダノの公式で与えられます。

x = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}}

$x = 3 - \frac{q}{2} + \frac{q ^{2}}{4} + \frac{p ^{3}}{27} + 3 - \frac{q}{2} - \frac{q ^{2}}{4} + \frac{p ^{3}}{27}$

四次方程式

四次方程式はフェラーリの方法で解けますが、五次以上の方程式には一般的な解の公式が存在しないことがアーベルにより証明されています。

ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0

$a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e = 0$

二次不等式

二次不等式の解は二次方程式の解を用いて区間で表されます。

ax^2 + bx + c > 0 \quad (a > 0,\, D > 0) \Rightarrow x < \alpha \text{ または } x > \beta

$a x^{2} + b x + c > 0 (a > 0, D > 0) \Rightarrow x < α または x > β$

ax^2 + bx + c < 0 \quad (a > 0,\, D > 0) \Rightarrow \alpha < x < \beta

$a x^{2} + b x + c < 0 (a > 0, D > 0) \Rightarrow α < x < β$