力学の方程式｜LaTeX

古典力学は物体の運動を記述する物理学の基礎です。ここでは力学で使われる主要な方程式の LaTeX 記法をまとめます。

ニュートンの運動の法則

運動の第一法則（慣性の法則）は、力が働かないとき物体は等速直線運動を続けることを述べています。

運動の第二法則は、力と加速度の関係を表します。

\mathbf{F} = m\mathbf{a}

$F = m a$

加速度は速度の時間微分なので、次のようにも書けます。

\mathbf{F} = m\frac{d\mathbf{v}}{dt} = m\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2}

$F = m \frac{d v}{d t} = m \frac{d ^{2} r}{d t ^{2}}$

運動の第三法則（作用・反作用の法則）です。

\mathbf{F}_{12} = -\mathbf{F}_{21}

$F_{12} = - F_{21}$

等加速度運動

等加速度直線運動の基本公式です。

v = v_0 + at

x = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2}at^2

v^2 - v_0^2 = 2a(x - x_0)

$v = v_{0} + a t$

$x = x_{0} + v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$

$v^{2} - v_{0}^{2} = 2 a (x - x_{0})$

自由落下と投射運動

重力加速度を $g$ とした自由落下の式です。

y = y_0 + v_0 t - \frac{1}{2}gt^2

$y = y_{0} + v_{0} t - \frac{1}{2} g t^{2}$

斜方投射の軌道は放物線になります。

y = x\tan\theta - \frac{gx^2}{2v_0^2\cos^2\theta}

$y = x tan θ - \frac{g x ^{2}}{2 v _{0}^{2} cos ^{2} θ}$

運動量

運動量は質量と速度の積です。

\mathbf{p} = m\mathbf{v}

$p = m v$

運動量の時間変化は力に等しいです。

\mathbf{F} = \frac{d\mathbf{p}}{dt}

$F = \frac{d p}{d t}$

運動量保存則は次のように表されます。

\sum_i \mathbf{p}_i = \text{const}

$i \sum p_{i} = const$

力積

力積は力の時間積分です。

\mathbf{J} = \int_{t_1}^{t_2} \mathbf{F}\,dt = \Delta\mathbf{p}

$J = \int_{t_{1}}^{t_{2}} F d t = Δ p$

仕事とエネルギー

仕事は力と変位の内積です。

W = \mathbf{F} \cdot \mathbf{d} = Fd\cos\theta

$W = F \cdot d = F d cos θ$

一般には線積分で表されます。

W = \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}

$W = \int_{C} F \cdot d r$

運動エネルギー

運動エネルギーは次のように定義されます。

K = \frac{1}{2}mv^2

$K = \frac{1}{2} m v^{2}$

仕事と運動エネルギーの関係です。

W = \Delta K = K_2 - K_1

$W = Δ K = K_{2} - K_{1}$

位置エネルギー

重力による位置エネルギーです。

U = mgh

$U = m g h$

ばねの弾性エネルギーです。

U = \frac{1}{2}kx^2

$U = \frac{1}{2} k x^{2}$

万有引力による位置エネルギーです。

U = -\frac{GMm}{r}

$U = - \frac{GM m}{r}$

力学的エネルギー保存

保存力のみが働くとき、力学的エネルギーは保存されます。

E = K + U = \text{const}

$E = K + U = const$

\frac{1}{2}mv_1^2 + U_1 = \frac{1}{2}mv_2^2 + U_2

$\frac{1}{2} m v_{1}^{2} + U_{1} = \frac{1}{2} m v_{2}^{2} + U_{2}$

円運動

等速円運動の向心加速度です。

a = \frac{v^2}{r} = r\omega^2

$a = \frac{v ^{2}}{r} = r ω^{2}$

向心力は次のように表されます。

F = m\frac{v^2}{r} = mr\omega^2

$F = m \frac{v ^{2}}{r} = m r ω^{2}$

角速度と周期の関係です。

\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f

$ω = \frac{2 π}{T} = 2 π f$

角運動量

角運動量は位置ベクトルと運動量の外積です。

\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p} = \mathbf{r} \times m\mathbf{v}

$L = r \times p = r \times m v$

回転運動では次のように表されます。

L = I\omega

$L = I ω$

力のモーメント

力のモーメント（トルク）です。

\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}

$τ = r \times F$

角運動量との関係は次のとおりです。

\boldsymbol{\tau} = \frac{d\mathbf{L}}{dt}

$τ = \frac{d L}{d t}$

慣性モーメント

慣性モーメントの定義です。

I = \sum_i m_i r_i^2 = \int r^2\,dm

$I = i \sum m_{i} r_{i}^{2} = \int r^{2} d m$

回転の運動エネルギーです。

K = \frac{1}{2}I\omega^2

$K = \frac{1}{2} I ω^{2}$

単振動

単振動の運動方程式です。

m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx

$m \frac{d ^{2} x}{d t ^{2}} = - k x$

その解は正弦関数で表されます。

x = A\sin(\omega t + \phi)

$x = A sin (ω t + ϕ)$

角振動数と周期は次の関係にあります。

\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}, \quad T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}

$ω = \frac{k}{m}, T = 2 π \frac{m}{k}$

万有引力の法則

二つの物体間に働く万有引力です。

F = G\frac{Mm}{r^2}

$F = G \frac{M m}{r ^{2}}$

ベクトル形式では次のようになります。

\mathbf{F} = -G\frac{Mm}{r^2}\hat{\mathbf{r}}

$F = - G \frac{M m}{r ^{2}} \hat{r}$