電磁気学の方程式｜LaTeX

電磁気学は電気と磁気の現象を統一的に記述する物理学の一分野です。ここでは電磁気学で使われる主要な方程式の LaTeX 記法をまとめます。

クーロンの法則

二つの点電荷間に働く力です。

F = k\frac{q_1 q_2}{r^2} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1 q_2}{r^2}

$F = k \frac{q _{1} q _{2}}{r ^{2}} = \frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{q _{1} q _{2}}{r ^{2}}$

ベクトル形式では次のように書きます。

\mathbf{F} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1 q_2}{r^2}\hat{\mathbf{r}}

$F = \frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{q _{1} q _{2}}{r ^{2}} \hat{r}$

電場

電場の定義です。

\mathbf{E} = \frac{\mathbf{F}}{q}

$E = \frac{F}{q}$

点電荷が作る電場です。

\mathbf{E} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r^2}\hat{\mathbf{r}}

$E = \frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{Q}{r ^{2}} \hat{r}$

電場と電位の関係です。

\mathbf{E} = -\nabla V = -\text{grad}\, V

$E = - \nabla V = - grad V$

電位

点電荷による電位です。

V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r}

$V = \frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{Q}{r}$

電位差と仕事の関係です。

W = q(V_1 - V_2) = q\Delta V

$W = q (V_{1} - V_{2}) = q Δ V$

ガウスの法則

積分形で書くと次のようになります。

\oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}

$\oint_{S} E \cdot d A = \frac{Q _{enc}}{ε _{0}}$

微分形では次のとおりです。

\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}

$\nabla \cdot E = \frac{ρ}{ε _{0}}$

コンデンサー

平行板コンデンサーの静電容量です。

C = \varepsilon_0 \frac{S}{d}

$C = ε_{0} \frac{S}{d}$

コンデンサーに蓄えられるエネルギーです。

U = \frac{1}{2}CV^2 = \frac{1}{2}\frac{Q^2}{C} = \frac{1}{2}QV

$U = \frac{1}{2} C V^{2} = \frac{1}{2} \frac{Q ^{2}}{C} = \frac{1}{2} Q V$

電流と抵抗

電流の定義です。

I = \frac{dQ}{dt}

$I = \frac{d Q}{d t}$

オームの法則です。

V = IR

$V = I R$

抵抗での消費電力です。

P = IV = I^2 R = \frac{V^2}{R}

$P = I V = I^{2} R = \frac{V ^{2}}{R}$

磁場

ビオ・サバールの法則です。

d\mathbf{B} = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\,d\mathbf{l} \times \hat{\mathbf{r}}}{r^2}

$d B = \frac{μ _{0}}{4 π} \frac{I d l \times r ^}{r ^{2}}$

無限に長い直線電流が作る磁場です。

B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}

$B = \frac{μ _{0} I}{2 π r}$

ローレンツ力

磁場中を運動する荷電粒子に働く力です。

\mathbf{F} = q\mathbf{v} \times \mathbf{B}

$F = q v \times B$

電場と磁場の両方がある場合の一般形です。

\mathbf{F} = q(\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B})

$F = q (E + v \times B)$

アンペールの法則

積分形です。

\oint_C \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I_{\text{enc}}

$\oint_{C} B \cdot d l = μ_{0} I_{enc}$

ファラデーの電磁誘導の法則

誘導起電力は磁束の時間変化に比例します。

\mathcal{E} = -\frac{d\Phi_B}{dt}

$E = - \frac{d Φ _{B}}{d t}$

磁束は次のように定義されます。

\Phi_B = \int_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A}

$Φ_{B} = \int_{S} B \cdot d A$

マクスウェル方程式

電磁気学の基本方程式は四つの式から成ります。

ガウスの法則（電場）です。

\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}

$\nabla \cdot E = \frac{ρ}{ε _{0}}$

ガウスの法則（磁場）です。磁気単極子が存在しないことを表します。

\nabla \cdot \mathbf{B} = 0

$\nabla \cdot B = 0$

ファラデーの法則です。

\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}

$\nabla \times E = - \frac{\partial B}{\partial t}$

アンペール・マクスウェルの法則です。

\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}

$\nabla \times B = μ_{0} J + μ_{0} ε_{0} \frac{\partial E}{\partial t}$

電磁波

真空中の電磁波の速度は光速に等しいです。

c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}

$c = \frac{1}{ε _{0} μ _{0}}$

電磁波の波動方程式です。

\nabla^2 \mathbf{E} = \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}

$\nabla^{2} E = μ_{0} ε_{0} \frac{\partial ^{2} E}{\partial t ^{2}}$

ポインティングベクトル

電磁波のエネルギーの流れを表します。

\mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0}\mathbf{E} \times \mathbf{B}

$S = \frac{1}{μ _{0}} E \times B$