行列と行列式｜LaTeX

行列と行列式は線形代数の基本であり、連立方程式の解法や座標変換など幅広い応用があります。ここでは行列と行列式に関する公式の LaTeX 記法をまとめます。

行列の表記

行列は括弧で囲んで表記します。

A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}

$A = (a c b d)$

角括弧を使う場合は bmatrix を使います。

A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{bmatrix}

$A = [a_{11} a_{21} a_{12} a_{22} a_{13} a_{23}]$

一般の $m \times n$ 行列は次のように書きます。

A = (a_{ij})_{m \times n} = \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}

$A = (a_{ij})_{m \times n} = a_{11} ⋮ a_{m 1} \dots ⋱ \dots a_{1 n} ⋮ a_{mn}$

特殊な行列

単位行列は $I$ または $E$ で表します。

I_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}

$I_{n} = 10 ⋮ 0 01 ⋮ 0 \dots \dots ⋱ \dots 00 ⋮ 1$

零行列は $O$ で表します。

O = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

$O = (0000)$

行列の演算

行列の和とスカラー倍です。

A + B = (a_{ij} + b_{ij})

cA = (ca_{ij})

$A + B = (a_{ij} + b_{ij})$

$c A = (c a_{ij})$

行列の積は次のように定義されます。

(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}

$(A B)_{ij} = k = 1 \sum n a_{ik} b_{kj}$

転置行列

転置行列は行と列を入れ替えた行列です。

A^T = A^\top = (a_{ji})

$A^{T} = A^{⊤} = (a_{ji})$

転置の性質として次が成り立ちます。

(AB)^T = B^T A^T

$(A B)^{T} = B^{T} A^{T}$

行列式

$2 \times 2$ 行列の行列式は次のように計算します。

\det A = |A| = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc

$det A = ∣ A ∣ = a c b d = a d - b c$

$3 \times 3$ 行列の行列式はサラスの方法で計算できます。

\begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} = a_1 b_2 c_3 + a_2 b_3 c_1 + a_3 b_1 c_2 - a_3 b_2 c_1 - a_1 b_3 c_2 - a_2 b_1 c_3

$a_{1} b_{1} c_{1} a_{2} b_{2} c_{2} a_{3} b_{3} c_{3} = a_{1} b_{2} c_{3} + a_{2} b_{3} c_{1} + a_{3} b_{1} c_{2} - a_{3} b_{2} c_{1} - a_{1} b_{3} c_{2} - a_{2} b_{1} c_{3}$

行列式の性質

行列式の基本的な性質です。

\det(AB) = \det A \cdot \det B

\det(A^T) = \det A

\det(cA) = c^n \det A \quad (\text{$n$ 次正方行列})

$det (A B) = det A \cdot det B$

$det (A^{T}) = det A$

$det (c A) = c^{n} det A (n 次正方行列)$

逆行列

逆行列は次の条件を満たす行列です。

AA^{-1} = A^{-1}A = I

$A A^{- 1} = A^{- 1} A = I$

$2 \times 2$ 行列の逆行列は次の公式で求められます。

A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}

$A^{- 1} = \frac{1}{a d - b c} (d - c - b a)$

一般には余因子行列を使います。

A^{-1} = \frac{1}{\det A} \tilde{A}

$A^{- 1} = \frac{1}{det A} \tilde{A}$

固有値と固有ベクトル

固有値方程式は次のとおりです。

A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}

$A v = λ v$

固有値は特性方程式の解として求められます。

\det(A - \lambda I) = 0

$det (A - λ I) = 0$

特性多項式は次のように表されます。

p(\lambda) = \det(\lambda I - A)

$p (λ) = det (λ I - A)$

対角化

行列 $A$ が対角化可能なとき、次のように書けます。

A = PDP^{-1}

$A = P D P^{- 1}$

ここで $D$ は対角行列、 $P$ は固有ベクトルを並べた行列です。

D = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \end{pmatrix}

$D = λ_{1} 0 ⋮ 0 0 λ_{2} ⋮ 0 \dots \dots ⋱ \dots 00 ⋮ λ_{n}$

トレース

トレースは対角成分の和です。

\text{tr}(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{ii}

$tr (A) = i = 1 \sum n a_{ii}$

トレースと固有値の関係は次のとおりです。

\text{tr}(A) = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i

$tr (A) = i = 1 \sum n λ_{i}$

連立一次方程式

連立一次方程式は行列形式で書けます。

A\mathbf{x} = \mathbf{b}

$A x = b$

クラメルの公式により、解は次のように表されます。

x_i = \frac{\det A_i}{\det A}

$x_{i} = \frac{det A _{i}}{det A}$