三角関数の公式｜LaTeX

三角関数には多くの公式があり、数学や物理学のあらゆる場面で登場します。ここでは主要な三角関数の公式の LaTeX 記法をまとめます。

基本的な関係式

三角関数の最も基本的な関係式はピタゴラスの定理から導かれます。

\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1

$sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$

これを変形すると、以下の関係も得られます。

1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta

1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta

$1 + tan^{2} θ = sec^{2} θ$

$1 + cot^{2} θ = csc^{2} θ$

二つの角の和・差に関する公式が加法定理です。

\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta

\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta

\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta

\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta

$sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β$

$sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β$

$cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β$

$cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β$

正接の加法定理は分数形式になります。

\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}

\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta}

$tan (α + β) = \frac{tan α + tan β}{1 - tan α tan β}$

$tan (α - β) = \frac{tan α - tan β}{1 + tan α tan β}$

加法定理で $α = β$ とおくと倍角の公式が得られます。

\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta

\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta

\tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}

$sin 2 θ = 2 sin θ cos θ$

$cos 2 θ = cos^{2} θ - sin^{2} θ = 2 cos^{2} θ - 1 = 1 - 2 sin^{2} θ$

$tan 2 θ = \frac{2 tan θ}{1 - tan ^{2} θ}$

倍角の公式をさらに適用すると三倍角の公式になります。

\sin 3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta

\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta

\tan 3\theta = \frac{3\tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3\tan^2\theta}

$sin 3 θ = 3 sin θ - 4 sin^{3} θ$

$cos 3 θ = 4 cos^{3} θ - 3 cos θ$

$tan 3 θ = \frac{3 tan θ - tan ^{3} θ}{1 - 3 tan ^{2} θ}$

倍角の公式を変形すると半角の公式が得られます。

\sin^2\frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos\theta}{2}

\cos^2\frac{\theta}{2} = \frac{1 + \cos\theta}{2}

\tan\frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta} = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta}

$sin^{2} \frac{θ}{2} = \frac{1 - cos θ}{2}$

$cos^{2} \frac{θ}{2} = \frac{1 + cos θ}{2}$

$tan \frac{θ}{2} = \frac{1 - cos θ}{sin θ} = \frac{sin θ}{1 + cos θ}$

三角関数の積を和に変換する公式です。

\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)\}

\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}\{\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)\}

\sin\alpha\sin\beta = -\frac{1}{2}\{\cos(\alpha+\beta) - \cos(\alpha-\beta)\}

$sin α cos β = \frac{1}{2} {sin (α + β) + sin (α - β)}$

$cos α cos β = \frac{1}{2} {cos (α + β) + cos (α - β)}$

$sin α sin β = - \frac{1}{2} {cos (α + β) - cos (α - β)}$

三角関数の和を積に変換する公式です。積和の公式の逆変換にあたります。

\sin A + \sin B = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}

\sin A - \sin B = 2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}

\cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}

\cos A - \cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}

$sin A + sin B = 2 sin \frac{A + B}{2} cos \frac{A - B}{2}$

$sin A - sin B = 2 cos \frac{A + B}{2} sin \frac{A - B}{2}$

$cos A + cos B = 2 cos \frac{A + B}{2} cos \frac{A - B}{2}$

$cos A - cos B = - 2 sin \frac{A + B}{2} sin \frac{A - B}{2}$

$a sin θ + b cos θ$ の形を一つの三角関数にまとめる公式です。

a\sin\theta + b\cos\theta = \sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta + \phi)

ここで $ϕ$ は次の条件を満たす角度です。

\cos\phi = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}, \quad \sin\phi = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}

$a sin θ + b cos θ = a^{2} + b^{2} sin (θ + ϕ)$

$cos ϕ = \frac{a}{a ^{2} + b ^{2}}, sin ϕ = \frac{b}{a ^{2} + b ^{2}}$