量子力学の方程式｜LaTeX

量子力学は原子や分子スケールでの物理現象を記述する理論です。ここでは量子力学で使われる主要な方程式の LaTeX 記法をまとめます。

波動関数

量子状態は波動関数 $ψ$ で記述されます。

\psi = \psi(\mathbf{r}, t)

$ψ = ψ (r, t)$

波動関数の絶対値の二乗は確率密度を表します。

|\psi(\mathbf{r}, t)|^2 = \psi^* \psi

$∣ ψ (r, t) ∣^{2} = ψ^{*} ψ$

規格化条件

波動関数は規格化されている必要があります。

\int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x)|^2\,dx = 1

$\int_{- \infty}^{\infty} ∣ ψ (x) ∣^{2} d x = 1$

三次元では次のようになります。

\int_{\text{all space}} |\psi(\mathbf{r})|^2\,d^3r = 1

$\int_{all space} ∣ ψ (r) ∣^{2} d^{3} r = 1$

シュレディンガー方程式

時間に依存するシュレディンガー方程式です。

i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi = \hat{H}\psi

$i ℏ \frac{\partial}{\partial t} ψ = \hat{H} ψ$

ハミルトニアンを具体的に書くと次のようになります。

i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi + V\psi

$i ℏ \frac{\partial ψ}{\partial t} = - \frac{ℏ ^{2}}{2 m} \nabla^{2} ψ + V ψ$

時間に依存しないシュレディンガー方程式（定常状態）です。

\hat{H}\psi = E\psi

$\hat{H} ψ = E ψ$

-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi + V\psi = E\psi

$- \frac{ℏ ^{2}}{2 m} \nabla^{2} ψ + V ψ = E ψ$

プランク定数

換算プランク定数（ディラック定数）は次のように定義されます。

\hbar = \frac{h}{2\pi}

$ℏ = \frac{h}{2 π}$

ド・ブロイの関係式

粒子の波長と運動量の関係です。

\lambda = \frac{h}{p}

$λ = \frac{h}{p}$

運動量と波数の関係です。

p = \hbar k

$p = ℏ k$

エネルギーと振動数の関係です。

E = h\nu = \hbar\omega

$E = h ν = ℏ ω$

演算子

位置演算子は単に掛け算です。

\hat{x} = x

$\overset{x}{^} = x$

運動量演算子は微分で表されます。

\hat{p} = -i\hbar\frac{\partial}{\partial x}

$\overset{p}{^} = - i ℏ \frac{\partial}{\partial x}$

三次元では次のようになります。

\hat{\mathbf{p}} = -i\hbar\nabla

$\hat{p} = - i ℏ\nabla$

ハミルトニアン演算子です。

\hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + V = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V

$\hat{H} = \frac{p ^ ^{2}}{2 m} + V = - \frac{ℏ ^{2}}{2 m} \nabla^{2} + V$

不確定性原理

ハイゼンベルクの不確定性原理です。

\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}

$Δ x \cdot Δ p \geq \frac{ℏ}{2}$

エネルギーと時間の不確定性関係です。

\Delta E \cdot \Delta t \geq \frac{\hbar}{2}

$Δ E \cdot Δ t \geq \frac{ℏ}{2}$

交換関係

正準交換関係です。

[\hat{x}, \hat{p}] = \hat{x}\hat{p} - \hat{p}\hat{x} = i\hbar

$[\overset{x}{^}, \overset{p}{^}] = \overset{x}{^} \overset{p}{^} - \overset{p}{^} \overset{x}{^} = i ℏ$

期待値

物理量の期待値は次のように計算します。

\langle A \rangle = \int \psi^* \hat{A} \psi\,dx

$⟨ A ⟩ = \int ψ^{*} \hat{A} ψ d x$

ディラック記法では次のように書きます。

\langle A \rangle = \langle \psi | \hat{A} | \psi \rangle

$⟨ A ⟩ = ⟨ ψ ∣ \hat{A} ∣ ψ ⟩$

ディラック記法

ブラとケットを使った表記です。

|\psi\rangle, \quad \langle\phi|

$∣ ψ ⟩, ⟨ ϕ ∣$

内積は次のように書きます。

\langle\phi|\psi\rangle

$⟨ ϕ ∣ ψ ⟩$

調和振動子

量子調和振動子のエネルギー準位です。

E_n = \hbar\omega\left(n + \frac{1}{2}\right), \quad n = 0, 1, 2, \ldots

$E_{n} = ℏ ω (n + \frac{1}{2}), n = 0, 1, 2, \dots$

生成・消滅演算子です。

\hat{a} = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left(\hat{x} + \frac{i\hat{p}}{m\omega}\right)

\hat{a}^\dagger = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left(\hat{x} - \frac{i\hat{p}}{m\omega}\right)

$\overset{a}{^} = \frac{mω}{2ℏ} (\overset{x}{^} + \frac{i p ^}{mω})$

$\overset{a}{^}^{†} = \frac{mω}{2ℏ} (\overset{x}{^} - \frac{i p ^}{mω})$

水素原子

水素原子のエネルギー準位です。

E_n = -\frac{m_e e^4}{8\varepsilon_0^2 h^2}\frac{1}{n^2} = -\frac{13.6\,\text{eV}}{n^2}

$E_{n} = - \frac{m _{e} e ^{4}}{8 ε _{0}^{2} h ^{2}} \frac{1}{n ^{2}} = - \frac{13.6 eV}{n ^{2}}$

ボーア半径です。

a_0 = \frac{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}{m_e e^2}

$a_{0} = \frac{4 π ε _{0} ℏ ^{2}}{m _{e} e ^{2}}$

スピン

スピン演算子の交換関係です。

[\hat{S}_x, \hat{S}_y] = i\hbar\hat{S}_z

$[\hat{S}_{x}, \hat{S}_{y}] = i ℏ \hat{S}_{z}$

スピン 1/2 粒子の固有値です。

S_z = \pm\frac{\hbar}{2}

$S_{z} = \pm \frac{ℏ}{2}$

パウリ行列です。

\sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad
\sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \quad
\sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

$σ_{x} = (0110), σ_{y} = (0 i - i 0), σ_{z} = (10 0 - 1)$