剛体の回転の記事では、固定した軸のまわりの回転を、慣性モーメント 1 つで扱いました。軸を固定せずに剛体が自由に回るときは、回る向きそのものが変わっていくので、角速度 \vec{\omega} をベクトルとして扱う必要があります。
剛体の角運動量は \vec{L} = \sum m\,\vec{r} \times (\vec{\omega} \times \vec{r}) で、一般には \vec{\omega} と同じ向きになりません。剛体に固定した座標で、成分ごとに L_i = \sum_j I_{ij}\omega_j と書いたときの I_{ij} を、慣性テンソルといいます。
慣性テンソルは対称な行列なので、座標軸をうまく選ぶと対角の成分だけが残ります。その 3 本の軸を慣性主軸、対角の値 I_1、I_2、I_3 を主慣性モーメントといいます。主軸を座標軸にとると、L_1 = I_1\omega_1、L_2 = I_2\omega_2、L_3 = I_3\omega_3 です。
図は、2 本の主軸を含む平面の中で \vec{\omega} の向きを回し、そのときの \vec{L} を描いたものです。I_1 < I_2 なので、\vec{L} は \vec{\omega} より軸 2 の側へ傾きます。\vec{\omega} が主軸の向きにあるときだけ、2 つの向きがそろいます。
外から力のモーメントを受けなければ、\vec{L} は空間の中で一定です。しかし \vec{\omega} は \vec{L} と向きが違うので、剛体が回る軸は一般に一定になりません。
空間で一定の \vec{L} を、剛体に固定した座標で見ると、\dfrac{d\vec{L}}{dt} + \vec{\omega} \times \vec{L} = \vec{0} が成り立ちます。左辺の 2 つ目の項は、回転座標系の記事で見たように、座標そのものが回ることによる項です。
成分で書くと、I_1\dot\omega_1 = (I_2 - I_3)\omega_2\omega_3、I_2\dot\omega_2 = (I_3 - I_1)\omega_3\omega_1、I_3\dot\omega_3 = (I_1 - I_2)\omega_1\omega_2 です。18 世紀にオイラーが導いたもので、力のモーメントを受けない剛体のオイラーの方程式といいます。
I_1 = I_2 の対称な剛体では、3 つ目の式の右辺が 0 になり、\omega_3 は一定です。残りの 2 つの式から、(\omega_1, \omega_2) は剛体に固定した座標の中で、角速度 \Omega_\mathrm{b} = \dfrac{I_3 - I_1}{I_1}\omega_3 で軸 3 のまわりを回ります。図はこの運動を剛体とともに回る座標で見たもので、\vec{\omega} と \vec{L} が軸 3 のまわりを一緒に回ります。
地球は、赤道のほうがわずかにふくらんだ対称な剛体に近く、\dfrac{I_3 - I_1}{I_1} は約 \dfrac{1}{305} です。自転の軸が地球の形の軸から少しずれていれば、そのずれは約 305 日の周期で回るはずだと、オイラーが予言しました。
1891 年、チャンドラーは緯度の観測から、自転の軸のずれが約 433 日の周期で回っていることを見つけました。予言より長いのは、地球が完全な剛体ではなく、わずかに変形するためです。この運動はチャンドラー揺動と呼ばれています。
主軸のちょうどまわりに回っている剛体は、オイラーの方程式の右辺が 0 になるので、そのまま回り続けます。問題は、少しずれたときに、ずれが小さいままでいるかどうかです。
軸 1 のまわりに \omega_1 = \omega で回っているところへ、小さなずれ \omega_2、\omega_3 が加わったとします。2 つ目と 3 つ目の式を組み合わせると、\ddot\omega_2 = \dfrac{(I_3 - I_1)(I_1 - I_2)}{I_2I_3}\omega^2\omega_2 が得られます。
右辺の係数は、I_1 がいちばん大きいときと、いちばん小さいときに負になり、ずれは単振動して小さいままです。I_1 が中間の値のときは係数が正になり、ずれは指数関数的に大きくなります。
図は、主慣性モーメントが 1, 2, 3 の剛体を、それぞれの軸のまわりに回し始めたときの、角速度の 3 成分です。ほかの 2 成分には 0.02 のずれを入れています。最小と最大の軸のまわりでは回転がそのまま続きますが、中間の軸のまわりでは、回る向きが何度も入れかわります。
摩擦などでエネルギーが少しずつ失われると、剛体は角運動量を保ったまま、エネルギーのいちばん低い回転、つまり慣性モーメントが最大の軸のまわりの回転へ移っていきます。1958 年に打ち上げられたアメリカの人工衛星エクスプローラー 1 号は、細長い向きの軸のまわりに回るように打ち上げられましたが、アンテナがたわんでエネルギーを失い、まもなく横倒しの向きで回り始めました。
オイラーの方程式からは、L^2 = L_1^2 + L_2^2 + L_3^2 と、エネルギー 2E = \dfrac{L_1^2}{I_1} + \dfrac{L_2^2}{I_2} + \dfrac{L_3^2}{I_3} の 2 つが一定であることが出てきます。
剛体に固定した座標で \vec{L} の先を見ると、半径 L の球面の上にあり、しかも楕円面の上にあるので、2 つの面が交わる曲線の上を動きます。図はこの曲線を何本か描いたもので、点が 1 本の曲線の上を動いていきます。薄い線は球の裏側です。
軸 1 と軸 3 のまわりでは、交わりの曲線は軸を囲む小さな輪になり、\vec{L} は軸の近くにとどまります。軸 2 のまわりでは輪にならず、曲線は軸 2 の近くから球面の反対側まで大きく回りこみます。前の場面で回る向きが入れかわったのは、\vec{L} がこの大きな曲線に沿って動くためです。
軸 2 を通る曲線は、輪になる曲線どうしの境目です。この境目の近くから出発すると、出発点の少しの違いで、たどる曲線の形が大きく変わります。
方程式を解かなくても、2 つの保存量から運動の形がわかります。保存量を探すことが運動を調べるのに役に立つ、ひとつの例です。
テニスラケットを、面の中で柄に垂直な軸のまわりに回るように投げ上げると、手に戻るまでに柄のまわりに半回転して、面が裏返ります。この軸が慣性モーメントの中間の軸だからで、テニスラケットの定理と呼ばれます。
図は、柄の向きを軸 1、面の中で柄に垂直な向きを軸 2、面に垂直な向きを軸 3 として、軸 2 のまわりに回し始めた剛体です。角速度と剛体の向きの両方を数値で解いて描いています。黄色の矢印は面に垂直な向きで、回るうちに向きが逆になります。上向きの \vec{L} は変わりません。
1985 年、宇宙飛行士のジャニベコフは、宇宙ステーションのサリュート 7 号で、ちょうネジが回りながら一定の間隔で向きを入れかえるのを見ました。地上では重力や空気の影響で見えにくい運動が、無重量の状態でははっきり見えます。
本を投げ上げても、同じことが確かめられます。いちばん長い辺に平行な軸のまわりと、いちばん短い辺に平行な軸のまわりにはそのまま回りますが、中間の長さの辺に平行な軸のまわりに回すと、途中で向きが入れかわります。