太陽のまわりを回る惑星は、太陽から距離の 2 乗に反比例する引力を受けます。位置エネルギーは U(r) = -\dfrac{k}{r} で、k = GMm です。太陽は惑星よりずっと重いので止まっているとすると、太陽を原点とする極座標で、ラグランジアンは L = \dfrac{m}{2}(\dot r^2 + r^2\dot\theta^2) + \dfrac{k}{r} になります。
ネーターの定理の記事で見たように、\theta は循環座標なので、角運動量 p_\theta = mr^2\dot\theta は一定です。\dot\theta = \dfrac{p_\theta}{mr^2} をエネルギーの式に入れると、E = \dfrac{m}{2}\dot r^2 + \dfrac{p_\theta^2}{2mr^2} - \dfrac{k}{r} となり、r だけが動く 1 次元の運動と同じ形になります。
後ろの 2 つの項をまとめた U_\mathrm{eff}(r) = -\dfrac{k}{r} + \dfrac{p_\theta^2}{2mr^2} を、有効ポテンシャルといいます。2 つ目の項は、角運動量を保ったまま中心に近づくほど回る速さが増え、回転の運動エネルギーが大きくなることを表しています。角運動量が 0 でなければ、この項のために惑星は太陽に落ちません。
図の横線はエネルギーの値で、r は横線が曲線より上にある範囲だけを動けます。E が谷の底に等しいと r は一定で、軌道は円です。底より高く 0 より低いと、r は 2 つの値のあいだを往復し、軌道は楕円になります。0 以上では外へ出ていって戻らず、0 なら放物線、0 より大きいと双曲線です。図の点は、楕円のときに r が往復するようすです。
谷の底は r = \dfrac{p_\theta^2}{mk} で、その高さは -\dfrac{mk^2}{2p_\theta^2} です。この半径を p と書きます。図は、長さを p、エネルギーを \dfrac{k}{p} を単位にして描いています。
知りたいのは r と \theta の関係、つまり軌道の形です。時間を消すために u = \dfrac{1}{r} とおき、\theta で微分します。\dot\theta = \dfrac{p_\theta u^2}{m} を使うと、\dot r = -\dfrac{p_\theta}{m}\dfrac{du}{d\theta} と書けます。
r の運動方程式 m\ddot r - mr\dot\theta^2 = -\dfrac{k}{r^2} を、同じように u と \theta で書き直すと、\dfrac{d^2u}{d\theta^2} + u = \dfrac{mk}{p_\theta^2} が得られます。単振動の方程式の右辺に定数がついた形です。
解は u = \dfrac{mk}{p_\theta^2}(1 + e\cos\theta) です。p = \dfrac{p_\theta^2}{mk} とおくと r = \dfrac{p}{1 + e\cos\theta} となります。e は積分定数で、\theta = 0 の向きを、太陽にいちばん近づく近点にとっています。
この式は、焦点を原点とする円錐曲線の式です。p を半直弦、e を離心率といいます。図の縦の点線が p で、焦点の真上にある軌道の点までの距離です。惑星は太陽を焦点とする楕円の上を動き、近点では速く、遠点ではゆっくり進みます。
楕円の軌道は、1609 年にケプラーが火星の観測から見つけた第 1 法則です。ニュートンは 1687 年の『プリンキピア』で、これが距離の 2 乗に反比例する力から出てくることを示しました。
離心率 e は、エネルギーで決まります。近点 r = \dfrac{p}{1 + e} では \dot r = 0 なので、エネルギーは有効ポテンシャルの値に等しく、計算すると E = \dfrac{k}{2p}(e^2 - 1) になります。
e = 0 は円で E = -\dfrac{k}{2p}、0 < e < 1 は楕円で E < 0、e = 1 は放物線で E = 0、e > 1 は双曲線で E > 0 です。図は半直弦をそろえて、離心率だけを変えた 5 つの軌道です。
楕円の長半径は a = \dfrac{p}{1 - e^2} です。これを使うと、エネルギーは E = -\dfrac{k}{2a} と書けて、長半径だけで決まります。
太陽系の惑星の軌道は円に近く、地球の離心率は 0.017、水星は 0.21 です。ハレー彗星は 0.97 で、近点は金星の軌道の内側、遠点は海王星の軌道の外側にあります。
太陽系の外からやってきて、1 回だけ太陽の近くを通って去っていく天体は、E > 0 の双曲線の軌道を動きます。2017 年に見つかったオウムアムアは、離心率が約 1.2 でした。
面積速度は \dfrac{p_\theta}{2m} で一定なので、1 周にかかる時間 T は、楕円の面積 \pi ab を面積速度で割ったものです。短半径は b = a\sqrt{1 - e^2} です。
p = a(1 - e^2) = \dfrac{p_\theta^2}{mk} を使って整理すると、T^2 = \dfrac{4\pi^2m}{k}a^3 になります。k = GMm なので T^2 = \dfrac{4\pi^2}{GM}a^3 で、周期の 2 乗は長半径の 3 乗に比例します。これがケプラーの第 3 法則です。
周期は長半径だけで決まり、離心率にはよりません。図の 3 つの軌道は長半径が同じで離心率が違いますが、同じ時間で 1 周し、同時に近点に戻ってきます。
地球の軌道は a = 1.496 \times 10^{11} m、T = 365.26 日なので、GM = \dfrac{4\pi^2a^3}{T^2} = 1.33 \times 10^{20} m³/s² と、太陽の質量に G を掛けた値が求まります。ハレー彗星の長半径は 17.8 天文単位なので、周期は 17.8^{3/2} = 75 年です。
太陽が惑星よりずっと重いとはいえない場合は、2 つの物体が共通の重心のまわりを回ります。このときは m を換算質量 \mu = \dfrac{mM}{m + M} に、r を 2 つの物体の距離に置きかえると同じ計算ができて、T^2 = \dfrac{4\pi^2}{G(M + m)}a^3 になります。
r = \dfrac{p}{1 + e\cos\theta} は、\theta が 2\pi 進むともとの値に戻ります。楕円の軌道は 1 周ごとに閉じ、近点の向きは変わりません。これは、r が 1 回往復する時間と、\theta が 1 周する時間が、ちょうど一致しているということで、当たり前のことではありません。
位置エネルギーに \dfrac{\beta}{r^2} を足すと、軌道の式は \dfrac{d^2u}{d\theta^2} + \nu^2u = \dfrac{mk}{p_\theta^2}、\nu^2 = 1 + \dfrac{2m\beta}{p_\theta^2} になり、解は r = \dfrac{p'}{1 + e\cos\nu\theta} です。\nu が 1 でないと、r が 1 回往復するあいだに \theta は \dfrac{2\pi}{\nu} 進み、近点の向きは往復のたびに回っていきます。図の右は \nu = 0.8 の場合で、5 周するあいだに 4 回近点を通ります。
どんなエネルギーと角運動量でも束縛された軌道が閉じる中心力は、距離の 2 乗に反比例する力と、距離に比例するばねの力の 2 つだけです。これは 1873 年にベルトランが示しました（ベルトランの定理）。
軌道が閉じることは、角運動量とエネルギーのほかに、もう 1 つ保存する量があることに対応しています。ルンゲ・レンツベクトル \vec{A} = \vec{p} \times \vec{L} - mk\dfrac{\vec{r}}{r} は、距離に反比例する位置エネルギーでだけ一定で、近点の向きを指し、大きさは mke です。図の左の矢印がこの向きで、右では近点とともに向きが変わります。1926 年、パウリはこのベクトルを量子力学に持ちこみ、水素原子のエネルギー準位を求めています。
水星の近点は、1 世紀に 574 秒角ずつ進んでいます。このうち 531 秒角はほかの惑星の引力で説明できますが、残りの 43 秒角は説明できませんでした。1915 年、アインシュタインは一般相対性理論でこの 43 秒角を導きました。