中２数学　連立方程式の文章題の解説（人数と割合）

例題 ある中学校の去年の生徒数は男女合わせて $480$ 人だった。今年、男子は $10$ %、女子は $6$ %増えて、男女合わせて $38$ 人増えた。 $(1)$　去年の男子の人数を $x$ 人、女子の人数を $y$ 人として連立方程式をつくりなさい。 $(2)$　去年の男子、女子の人数を求めなさい。 $(3)$　今年の男子、女子の人数を求めなさい。

$(1)$　去年の男子の人数を $x$ 人、女子の人数を $y$ 人とすると $$\{\begin{array}{l}x+y=480\\ x\times \frac{10}{100}+y\times \frac{6}{100}=38\end{array}$$ となる。

ここで $6$ ％はパーセントを外すと $\frac{6}{100}$ となることに注意。次の公式を覚えよう。

$x\%=\frac{x}{100}$

割合が苦手、パーセントが苦手という方はとりあえず上のパーセントの公式にしたがってパーセントを分数にしてみよう。例えば

$5\%=\frac{5}{100}$

$3\%=\frac{3}{100}$

$20\%=\frac{20}{100}$

となります。したがって $y$ の $x$ %は

$y\times \frac{x}{100}$

となります。

$y$ の $x$ %は $y\times \frac{x}{100}$ である。

続いて $(2)$ に入ります。

$(2)$ $$\{\begin{array}{l}x+y=480\\ x\times \frac{10}{100}+y\times \frac{6}{100}=38\end{array}$$ 下の式の両辺を $100$ 倍する。 $$\{\begin{array}{l}x+y=480\\ x\times 10+y\times 6=3800\end{array}$$ $$\{\begin{array}{l}x+y=480\\ 10x+6y=3800\end{array}$$ 上の式の両辺を $6$ 倍する（下の式の $6y$ と合わせるため）。 $$\{\begin{array}{l}6x+6y=2880\\ 10x+6y=3800\end{array}$$ $$\{\begin{array}{l}10x+6y=3800\\ 6x+6y=2880\end{array}$$ 上の式から下の式を引く。 $$4x=920$$ $$x=230$$ 最初の式 $x+y=480$ より \begin{eqnarray*} y&=&480-x\\ &=&480-230\\ &=&250 \end{eqnarray*}よって $$\{\begin{array}{l}x=230\\ y=250\end{array}$$ 男子　…　$230$ 人 女子　…　$250$ 人

去年の人数がわかれば、今年の人数もわかります。

$(3)$ 今年の男子の人数は $$\begin{gathered} 230+230\times \frac{10}{100} \\ =230+230\times \frac{1}{10} \\ =230+23 \\ =253 \end{gathered}$$ となる。今年の女子の人数は $$\begin{gathered} 250+250\times \frac{6}{100} \\ =250+250\times \frac{3}{50} \\ =250+15 \\ =265 \end{gathered}$$ となる。 男子　…　$253$ 人 女子　…　$265$ 人